Model input-output: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Pàgina nova, amb el contingut: «El '''model input-output''' és un model econòmic desenvolupat per Wassily Leontief (1905-1999) pel qual va obtenir el Premi Nobel d'Economia l'a...». |
Cap resum de modificació |
||
Línia 11:
L'estructura matemàtica d'un sistema Input-Output és la d'un [[sistema d'equacions lineals]] de n incògnites i n equacions. Sent n el nombre de sectors de la indústria. Aquesta aproximació fa que el model input-output pugui ser tractat sota el formalisme de l'[[àlgebra lineal]] en poder ser representat en [[Matriu (matemàtica)|matrius]]. Si es quantifica el valor monetari d'un sector i a un j com <math>z_{ij}</math>
i de la mateixa forma la [[demanda final]] d'un sector (és a dir els béns produïts que no entren de nou en el sistema productiu) com <math>Y_{i}</math> es té que la producció del sector i (representat per: <math>X_{i}</math>) seria igual en un formalisme algebraic a:
:<math>
\begin{matrix}
X_{i} & = & z_{i1} + z_{i2} + z_{i3} + ... + z_{in} + Y_{i}
\end{matrix}
</math>
Els termes a la dreta de l'equació representen les vendes inter-indústria del sector i, per tant la suma de tots els termes és el total de vendes del sector i i les vendes a la demanda final. Aquesta equació pot entendre's com la distribució de vendes del sector i, com la distribució de sortides (outputs d'aquest sector). Si considerem l'exemple d'una economia de tres sectors productius el model podria reproduir-se com segueix:
:<math>
\begin{matrix}
X_{1} & = & z_{11} + z_{12} + z_{13} + Y_{1}\\
X_{2} & = & z_{21} + z_{22} + z_{23} + Y_{2}\\
X_{3} & = & z_{31} + z_{32} + z_{33} + Y_{3}\\
X_{4} & = & z_{41} + z_{42} + z_{43} + Y_{4}
\end{matrix}
</math>
En aquesta representació tenim agrupades en cada línia les sortides de cada sector (<math>X_{i}</math>). Els fluxos (<math>z_{ij}</math>) poden ser recol·lectats en una taula en la qual els sectors verticals són "venedors" i els horitzontals "compradors". Un exemple de taula input-output és:
<center>
{| class="wikitable" align="center"
|+'''Taula: Transaccions en una Economia de tres Sectors'''
!Activititats econòmiques
!Inputs - Agricultura
!Inputs - Manufactura
!Inputs - Transport
!Demanda Final
!Output Total
|-
|Agricultura
|5
|15
|2
|68
|90
|-
|Manufactura
| 10
|20
|10
|40
|80
|-
|Transport
|10
|15
|5
|0
|30
|-
| Salaris
|25
|30
|5
|0
|60
|}
</center>
En aquest exemple es considera que la demanda final és exclusivament dedicada al pagament dels treballadors, però en una taula input-output pot afegir-se igualemente els consums casolans, les vendes ([[exportació|exportacions]]) o inversions de capital, [[salari]]s, etc. En el model input-output de vegades es consideren aquestes demandes finals fent que la matriu sigui considerablement major que la corresponent a les relacions inter-indústria.
=== Inversa de Leontief ===
La [[funció de producció]] d'una indústria (que especifica la sortida en funció de les entrades) en el cas del model de Leontief les [[isoquanta|isoquante]]s (corbes de constant producció) corresponen a línies rectes a causa de la linearidad del procés. Emprant els denominats ''coeficients de Leontief'', és a dir: <math>a_{ij}</math>, es pot manipular la matriu de transaccions com:
:<math>
\begin{matrix}
z_{ij} & = & a_{ij}X_{j}
\end{matrix}
</math>
El que converteix l'ecuació en:
:<math>
\begin{matrix}
Z_{1} & = & a_{11}X_{1} + a_{12}X_{2} + \cdots + a_{1i}X_{i} + \cdots + a_{1n}X_{n} + Y_{1}\\
Z_{2} & = & a_{21}X_{1} + a_{22}X_{2} + \cdots + a_{2i}X_{i} + \cdots + a_{2n}X_{n} + Y_{2}\\
Z_{3} & = & a_{31}X_{1} + a_{32}X_{2} + \cdots + a_{3i}X_{i} + \cdots + a_{3n}X_{n} + Y_{3}\\
\vdots & = & \vdots \\
Z_{n} & = & a_{n1}X_{1} + a_{n2}X_{2} + \cdots + a_{ni}X_{i} + \cdots + a_{nn}X_{n} + Y_{n}
\end{matrix}
</math>
O en notació matricial equivalent, la mateixa operació és:
:<math>
\begin{matrix}
AX + Y & = & X \\
(I-A)X & = & Y \\
X & = & (I-A)^{-1}Y
\end{matrix}
</math>
On a la matriu resultant de l'operació <math>(I-A)^{-1}</math> se la denomina la ''matriu inversa de Leontief.
== Referències ==
| |||