Funció trigonomètrica: diferència entre les revisions

Observant la figura de la dreta. Sia una segment de línia recta que va de l'origen fins a la circumferència goniomètrica i forma un angle positiu ''t'' amb la meitat positiva de l'eix ''x''. Les coordenades ''x'' i ''y'' de l'extrem d'aquest segment que toca la circumferència goniomètrica són, respectivament, el cos ''t'' i el sin ''t''.<ref>[http://books.google.cat/books?id=im-x_vl6gnsC&pg=PA444&lpg=PA444&dq=%22funci%C3%B3+sinus%22&source=bl&ots=i2BvNfjrWG&sig=lASjbN1WZ0iy-iHO2e0CPyO6AUQ&hl=enca&ei=mJbdSYWUKKHUjAeJ_rCnDg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=8#PPA437,M1 Càlculus] A la pàgina 437 hi ha la definició del sinus i el cosinus basant-se en la circumferència goniomètrica.</ref> Traçant una perpendicular a l'eix ''x'' que passi per l'extrem del segment s'obté un triangle rectangle format pel segment, aquesta perpendicular i l'eix x. Aquest triangle rectangle permet comprovar que pels angles del primer quadrant la definició coincideix amb la definició basada en el triangle rectangle. Com que el radi del cercle és igual a la hipotenusa i té longitud 1, resulta que sin θ = ''y''/1 i cos θ = ''x''/1. La circumferència goniomètrica, es pot entendre com una forma de representar un nombre infinit de triangles rectangles, en els que varien les longituds dels catets, però que la longitud de la hipotenusa es conserva constant igual a 1.

Aquestes identitats sovint s'agafen com a ''definicions'' de les funcions sinus i cosinus.<ref>[http://books.google.cat/books?id=ha1ad_abDKwC&pg=PA239&lpg=PA239&dq=%22funci%C3%B3+sinus%22&source=bl&ots=eM2z8URV5r&sig=-kN-OcLzz3UTPKV6JbAytDJWD_k&hl=enca&ei=3qPdSfilOMKgjAfK-4GnDg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=5#PPA201,M1 Definició de les funcions trigonomètriques basant-se en sèries]</ref> Sovint es fan servir com un punt de partida per a un tractament rigorós de les funcions trigonomètriques i les seves aplicacions (per exemple, en les [[sèrie de Fourier|sèries de Fourier]]), donat que la teoria de les [[sèries infinites]] es pot desenvolupar a partir dels fonaments dels [[nombres reals]], de forma independent de qualsevol mena de consideracions geomètriques. Llavors, la [[derivabilitat]] i la [[funció contínua|continuïtat]] d'aquestes funcions s'estableixen només a partir de les definicions de les sèries.