Teorema fonamental de l'aritmètica: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Cap resum de modificació |
Cap resum de modificació |
||
Línia 1:
El '''teorema fonamental de l'aritmètica''' afirma que
▲| bgcolor="#F4F4F4" | Sigui ''a'' un [[nombre enter]], ''a'' diferent de 0, 1 i -1. Existeixen [[nombres primers]] positius p<sub>1</sub>,..., p<sub>n</sub> ( n >= 1) tals que a = +- p<sub>1</sub>· p<sub>2</sub>... · p<sub>n</sub> i són únics tret de l'ordre.
Aquesta expressió d'un enter com a producte de nombres primers s'anomena '''factorització'''. Per exemple:
:6936 = 2<sup>3</sup> · 3 · 17<sup>2</sup>
:1200 = 2<sup>4</sup> · 3 · 5<sup>2</sup> i cap altra factorització d'aquests nombres és possible. Aquest procés demostra que els primers es poden considerar els elements bàsics a partir dels quals es construeixen tots els enters; en concret, ens dóna un coneixement complet de tots els factors d'un nombre. Per exemple, en el cas del 6936, de la factorització anterior, que recordem que és única, sabem que tots els possibles factors (no primers) de 6936 són:
Linha 15 ⟶ 12:
:2<sup>''a''</sup> · 3<sup>''b''</sup> · 17<sup>''c''</sup>
amb
== Demostració ==
La primera demostració es deu a [[Euclides]], i consisteix en dues parts: primer cal demostrar que tot nombre es pot escriure com a producte de nombres primers i, en segon lloc, demostrar que aquest producte és únic, excepte per l'ordre dels productes.
Suposem que hi hagués enters que no es poden escriure com a producte de primers i suposem també que ''n'' sigui el més petit d'aquests enters. Com ''n'' no pot ser igual a 1 (pel que hem dit abans) ni pot ser un primer, ja que qualsevol primer és producte d'ell mateix, ha de ser un nombre compost i, per tant, el podem escriure com
Linha 26 ⟶ 23:
:''n'' = ''ab''
on ''a''
:''a'' = ''p''<sub>1</sub>''p''<sub>2</sub>''p''<sub>3</sub>...
:''b'' = ''
i, per tant:
:''n'' = ''ab'' = ''p''<sub>1</sub>''p''<sub>2</sub>''p''<sub>3</sub>...''
És a dir, que ''n'' sí es pot escriure com a producte de primers, contradient la suposició i demostrant que, efectivament, tot enter es pot escriure com a producte de primers.
Linha 41 ⟶ 38:
== Generalització ==
Els [[anells (matemàtiques)|anells]] on es compleix aquesta propietat que tot element es pot factoritzar de manera única en producte d'elements primers s'anomenen [[anells factorials]] o anells de factorització única. El teorema fonamental de l'aritmètica demostra que l'anell dels [[nombres enters]] és un anell factorial, però n'hi ha d'altres com els [[anell de polinomis|anells de polinomis]], els [[anells principals]], etc.
{{ORDENA:Teorema Fonamental De L'Aritmetica}} <!--ORDENA generat per bot-->
| |||