Diferència entre revisions de la pàgina «Cúbica torçada»

cap resum d'edició
(Creada per traducció de la pàgina «Twisted cubic»)
 
 
== Definició ==
[[File:Twisted cubic curve.png|250px|right]]
El més sezill és definir-la de forma [[Paràmetre|paramètrica]] com la imatge de l'apicació
:<math>\nu:\mathbf{P}^1\to\mathbf{P}^3</math>
la qual assigna a la <nowiki>[[coordenada homogènia|coordenades homogènies]]</nowikimath> [S:T]</math /> el valor
:<math>\nu:[S:T] \mapsto [S^3:S^2T:ST^2:T^3].</math>
Dins un [[Atles (topologia)|atles]] de l'espai projectiu, la l'aplicació és senzillament la <nowiki>[[corba de moment]]</nowiki>
:<math>\nu:x \mapsto (x,x^2,x^3)</math>
És a dir, és la clausura per un únic punt a l'infinit de la [[Varietat algebraica|corba afí]] .<math >(x,x^2,x^3)</math>.
 
De forma equivalent, és una <nowiki>[[varietat projectiva]]</nowiki>, definida com el zero de tres [[Quàdrica|quàdriques]] derivables. Donades les coordenades homogènies [''X:Y:Z:W''] de P3'''P'''<sup>3</sup>, és el zero dels tres [[Polinomi homogeni|pollinomispolinomis homogenis]]
la qual assigna a la <nowiki>[[coordenada homogènia|coordenades homogènies]]</nowiki> <math /> el valor
:<math>F_0 = XZ - Y^2</math>
 
:<math>F_1 = YW - Z^2</math>
Dins un [[Atles (topologia)|atles]] de l'espai projectiu, la aplicació és senzillament la <nowiki>[[corba de moment]]</nowiki>
:<math>F_2 = XW - YZ.</math>
 
Es pot comprovar que aquestes tres [[Forma quadràtica|formes quadràtiques]] esdevenen idènticament nul·les quan es fa servir la parameterització explícita de dalt; allò és, substituint x3''x''<sup>3</sup per ''X'', etcètera.
És a dir, és la clausura per un únic punt a l'infinit de la [[Varietat algebraica|corba afí]] .<math />
 
De forma equivalent, és una <nowiki>[[varietat projectiva]]</nowiki>, definida com el zero de tres [[Quàdrica|quàdriques]] derivables. Donades les coordenades homogènies [X:Y:Z:W] de P3, és el zero dels tres [[Polinomi homogeni|pollinomis homogenis]]
 
Es pot comprovar que aquestes tres [[Forma quadràtica|formes quadràtiques]] esdevenen idènticament nul·les quan es fa servir la parameterització explícita de dalt; allò és, substituint x3 per X, etcètera.
 
De fet, l'<nowiki>[[ideal homogeni]]</nowiki> de la ''c''úbica torçada C és generat per tres [[Polinomi homogeni|formes algebraiques]] de grau dos de P3. Els generadors de l'ideal són
 
De fet, l'<nowiki>[[ideal homogeni]]</nowiki> de la cúbica torçada ''cC''úbica torçada C és generat per tres [[Polinomi homogeni|formes algebraiques]] de grau dos de P3'''P'''<sup>3</sup>. Els generadors de l'ideal són
:<math>\{ XZ - Y^2 , YW - Z^2 , XW - YZ \}.</math>
== Propietats ==
La cúbica torçada té un assortiment de propietats elementals:
* És el conjunt-teorètic del la intersecció completa de <nowiki><math>''XZ''-Y2''Y''<sup>2</mathsup> i <math>Z(YW-Z^2)-W(XW-YZ)</math></nowiki>, però no una intersecció completa esquema-teorètica o ideal-teorètica  (l'ideal que en resulta no és radical, donat que conté <nowiki><math>(YW-Z^2)^2</math></nowiki>  però no conté <nowiki><math>YW-Z^2</math></nowiki> ).
* Donats quatre punts qualsevulla de ''C'' generen tot P3'''P'''<sup>3</sup>.
* Donats sis punts de P3'''P'''<sup>3</sup> sense que n'hi hagi quatre de coplanars, hi ha una única cúbica torçada que hi passa.
* La projecprojecció de ''cC''ió de C sobre un pla a partir d'un punt sobre una línia tangent a ''C'' dóna una <nowiki>[[cúbica cuspidal]]</nowiki>.
* La proje''c''cióprojecció a partir d'un punt sobre una línia secant a ''C'' dóna una <nowiki>[[cúbica nodal]]</nowiki>.
* La proje''c''cióprojecció a partir d'un punt sobre ''C'' dóna una [[Cònicacònica|secció cònica]].
 
== Referències ==
15.103

modificacions