15.103
modificacions
Diferència entre revisions de la pàgina «Cúbica torçada»
cap resum d'edició
(Creada per traducció de la pàgina «Twisted cubic») |
|||
|
== Definició ==
[[File:Twisted cubic curve.png|250px|right]]
El més sezill és definir-la de forma [[Paràmetre|paramètrica]] com la imatge de l'apicació
:<math>\nu:\mathbf{P}^1\to\mathbf{P}^3</math>
la qual assigna a la
:<math>\nu:[S:T] \mapsto [S^3:S^2T:ST^2:T^3].</math>
Dins un [[Atles (topologia)|atles]] de l'espai projectiu,
:<math>\nu:x \mapsto (x,x^2,x^3)</math>
És a dir, és la clausura per un únic punt a l'infinit de la [[Varietat algebraica|corba afí]]
De forma equivalent, és una
▲la qual assigna a la <nowiki>[[coordenada homogènia|coordenades homogènies]]</nowiki> <math /> el valor
:<math>F_0 = XZ - Y^2</math>
:<math>F_1 = YW - Z^2</math>
▲Dins un [[Atles (topologia)|atles]] de l'espai projectiu, la aplicació és senzillament la <nowiki>[[corba de moment]]</nowiki>
:<math>F_2 = XW - YZ.</math>
Es pot comprovar que aquestes tres [[Forma quadràtica|formes quadràtiques]] esdevenen idènticament nul·les quan es fa servir la parameterització explícita de dalt; allò és, substituint
▲És a dir, és la clausura per un únic punt a l'infinit de la [[Varietat algebraica|corba afí]] .<math />
▲De forma equivalent, és una <nowiki>[[varietat projectiva]]</nowiki>, definida com el zero de tres [[Quàdrica|quàdriques]] derivables. Donades les coordenades homogènies [X:Y:Z:W] de P3, és el zero dels tres [[Polinomi homogeni|pollinomis homogenis]]
▲Es pot comprovar que aquestes tres [[Forma quadràtica|formes quadràtiques]] esdevenen idènticament nul·les quan es fa servir la parameterització explícita de dalt; allò és, substituint x3 per X, etcètera.
De fet, l'<nowiki>[[ideal homogeni]]</nowiki> de la ''c''úbica torçada C és generat per tres [[Polinomi homogeni|formes algebraiques]] de grau dos de P3. Els generadors de l'ideal són▼
▲De fet, l'
:<math>\{ XZ - Y^2 , YW - Z^2 , XW - YZ \}.</math>
== Propietats ==
La cúbica torçada té un assortiment de propietats elementals:
* És el conjunt-teorètic del la intersecció completa de
* Donats quatre punts qualsevulla de ''C'' generen tot
* Donats sis punts de
* La
* La
* La
== Referències ==
| |||