Equació d'ona: diferència entre les revisions

: '''<math> U_u_{tt}= c^2 \left (u_{xx}+u_{iiyy}\right). \, </Math>'''

Podem utilitzar la teoria tridimensional per a resoldre un si considerem '' o u'' com una funció de tres dimensions que és independent de la tercera dimensió. Si

: '''<math> O u(0, x, y) = 0, \quad u_t (0, x, y) = \phi (x, y), \, </math>'''

: '''<math> U u(t, x, y) = tM_{ct}[\phi] = \frac{t}{4 \pi}\iint_S \phi (x+ct \alpha, \, iy+ct \beta ) d \omega, \, </math>'''

On α i β són les dues primeres coordenades en la unitat esfèrica, i dω és l'element d'àrea en l'esfera. Aquesta integral pot ser reescrita com una integral sobre el disc '' D '' amb centre en ('' x '', '' i y'') i ràdioradi '' ct '':

: '''<math> U u(t, x, y) = \frac{1}{2 \pi c}\iint_D \frac{\phi (x+\xi, iy+\eta)}{\sqrt{(ct)^2 - \xi^2 - \eta^2}}d \xi \, d \eta. \, </Mathmath>'''

És evident que la solució en ('' t '', '' x '', '' i y'') depenguidepèn no només de la informació en el con de llum on:

: '''<math> (Xx - \xi)^2+(iy - \eta)^2 = c^2 t^2, \, </math>'''