Equació d'ona: diferència entre les revisions

: '''<math> \int_{L_1} \left (- c^2 u_x (x, t) dt - u_t (x, t) dx \right) \, </math>'''

:: '''<math> = \int_{L_1} \left (c u_x (x, t) dx+c u_t (x, t) dt \right) \, </math>'''

 

I de forma similar per l'últim segment de frontera:

: '''<math> \int_{L_2} \left (- c^2 u_x (x, t) dt - u_t (x, t) dx \right) </math>'''

:: '''<math> = - \int_{L_2} \left (c u_x (x, t) dx+c u_t (x, t) dt \right) </math>'''

 

Sumant els tres resultats junts i posant-los de tornada a la integral original:

: '''<math> 2 cu (x_i, t_i) - \int^{x_i+c t_i}_{x_i - c t_i}g (x) dx - cf (x_i+c t_i) - cf (x_i - c t_i) = \iint \limits_{R_C}s (x, t) dx dt </math>'''

: '''<math> 2 cu (x_i, t_i) = \int^{x_i+c t_i}_{x_i - c t_i}g (x) dx+cf (x_i+c t_i)+cf (x_i - c t_i)+\iint \limits_{R_C}s (x, t) dx dt </math>'''

 

A l'última equació de la seqüència, les fronteres de la integral sobre la funció font s'han fet explícites. Pel que fa a aquesta solució, que és vàlida per a totes les opcions <math> \scriptstyle (x_i, t_i) </math> compatibles amb l'equació d'ona, és evident que els dos primers termes són simplement la fórmula de Alembert, com es va assenyalar anteriorment en la solució de l'equació d'ona homogènia en una dimensió. La diferència està en el tercer terme, la integral sobre la font.