Mòdul lliure: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m anell (matemàtiques)| |
m Base (àlgebra) |
||
Línia 1:
Si a l'[[estructura algebraica|estructura]] d'[[espai vectorial]] hom substitueix el [[cos (matemàtiques)|cos]] d'escalars per un [[anell (matemàtiques)|anell]], l'estructura obtinguda és la de [[mòdul]]. Naturalment, moltes de les propietats es perden en aquest canvi i l'estructura de '''mòdul lliure''' és la que més s'acosta a la d'espai vectorial. Resulta significatiu que, per definir-la, només calgui reproduir el fet que qualsevol [[homomorfisme]] d'espais vectorials queda determinat quan se'n coneixen les imatges dels elements d'una [[Base (àlgebra)|base]].
Posem això en una notació adequada: si <math>M\, </math> i <math>N \,</math> són espais vectorials i <math>\mathcal{B}</math> és una base de <math>M</math>, una aplicació <math>j: \mathcal{B} \longrightarrow N \,</math> informa quant a quina és la imatge de cada element de la base <math>\mathcal{B}</math> de <math>M</math> i ''només d'això''. Però aleshores, ha quedat perfectament determinat un homomorfisme <math>f: M \longrightarrow N \,</math> de manera que si <math>i: \mathcal{B} \longrightarrow M \,</math> és la injecció natural, el següent diagrama
Línia 143:
|}
i, com que això s'esdevé per qualsevol índex <math>s_{0} \in S \,</math>, resulta que <math>a_{s} = 0 \,, \forall s \in S</math> i la independència lineal queda demostrada. Aleshores, <math>i(S) \,</math> és una [[Base (àlgebra)|base]] del mòdul lliure <math>F_{S}</math>.
Inversament, tot <math>A</math>-mòdul <math>M \,</math> provist d'una base <math>\mathcal{B} \,</math>, és a dir, d'un conjunt de generadors lliure, és un mòdul lliure sobre aquest conjunt de generadors. En efecte, primer definim l'aplicació
| |||