Funció: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Removing Link FA template (handled by wikidata) |
Cap resum de modificació |
||
Línia 1:
{{polisèmia}}
[[Fitxer:Graph of example function.svg|300px|thumbnail|En vermell, representació gràfica d'una funció ''f'' en el [[pla cartesià]]. L'eix horitzontal, en blau, representa les dades d'entrada o l'origen ''x'' i l'eix vertical, en groc, representa la sortida o resultat, de manera que el gràfic es compon de [[Parell ordenat|parells ordenats]] (''x'',''f''(''x'')).]]
Intuïtivament, una '''funció''' és una «transformació» d'un objecte en un altre objecte. Així, hi ha funcions que transformen nombres en nombres (per exemple, les [[polinomi|funcions polinòmiques]], les funcions [[trigonometria|trigonomètriques]]
== Definicions ==
Línia 8:
[[Fitxer:Function_color_example_3.svg|thumb|Funció que associa a cadascuna de les quatre formes colorades el seu color.]]
Una funció és una regla o procediment que estableix una determinada sortida per cada entrada. Per exemple:
*Una pedra que es deixa caure d'un edifici triga un temps diferent a arribar a terra segons el pis del qual es deixa caure. Per exemple, pot prendre 2 segons si es deixa caure del 2n pis o 4 segons si es deixa caure del 8è. Tenint la coneixença del pis del qual es deixa caure la pedra, la sortida de la funció seria el temps que triga la pedra a arribar a terra.
*En un grup de gent, s'hi trobaran diverses persones
*Per a un exemple de funció, sigui ''X'' un conjunt de quatre formes: un triangle vermell, un rectangle groc, un hexàgon verd i un quadrat vermell; i si fos ''Y'' un conjunt compost de cinc colors: vermell, blau, verd, rosa i groc. Vincular cada forma amb el seu color és una funció de ''X'' a ''Y'': cada forma es vincula amb un color. No hi ha forma sense vincle i cap de les formes es vincula a dos o més colors. Aquesta funció s'anomenarà com la "funció del color-de-la-forma".
L'entrada d'una funció s'anomena [[Argument (matemàtiques)|''argument'']], i la sortida s'anomena [[Funció real|''valor'']]. El conjunt de totes les entrades permeses per una funció determinada s'anomena [[Domini (matemàtiques)|''domini'']] de la funció, mentre que el conjunt de les sortides permeses s'anomena [[codomini|''codomini'']].
D'aquesta manera, en l'exemple de la "funció del color-de-la-forma", el domini és el conjunt de quatre formes i el codomini consisteix en els cinc colors. El concepte d'una funció no requereix que cada possible sortida sigui el valor de cada argument, per exemple: el color blau no és el color de cap de les quatre formes
Altres exemples:
*Una funció
*
El terme [[Recorregut (matemàtiques)|''recorregut'']] s'utilitza sovint tant per al codomini com per al conjunt dels valors que la funció pren en la pràctica.
=== Definició ===
Una funció,<ref name="monografias">{{ref-web |url = http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml|títol = Monografias.com: Ayuda Matemáticas ESO.| consulta = 2010|nom = Alejandro|cognom = Carreiras|pàgines = 2. Funciones|llengua = castellà | consultat = 22 abril 2013}}</ref> una aplicació o un mapatge f és una relació entre un conjunt donat ''X'' (el domini) i un altre conjunt d'elements ''Y'' (el codomini), de manera que a cada element ''x'' del domini li correspon un únic element del codomini ''f(x)''. Es denota per:
{{equació|
<math>f \colon X \to Y \,</math>
||left}}
Normalment, s'escriu ''f''(x)=y,
Habitualment, el terme
=== Definició formal ===
Una funció és una terna (''A'',''B'',''f''),
:<math>\forall (x,y)\in f</math>, si <math>(x,z) \in f \Rightarrow y = z</math>
Línia 44:
::<math>f\colon \Omega \subseteq A \to B</math>
El primer que va utilitzar la paraula
Leibniz fou, juntament amb [[Isaac Newton|Newton]], un dels pares del [[
== Notació i nomenclatura ==
Al domini també se l'anomena
El codomini, també anomenat ''conjunt d'arribada'', ''conjunt final'' o ''rang'' de f, se li denota per:
{{equació|
<math>{\rm codom}(f)\,</math> o <math>{\rm codom}_f</math>
||left}}
Cal assenyalar que el terme ''rang'' és ambigu en la literatura, ja que pot fer referència tant al codomini com al conjunt imatge. Per això, és aconsellable usar el terme ''codomini''.
Si x és un element del domini, a l'element del codomini assignat per la funció i denotat per f(x) se l'anomena ''valor'' o ''imatge de la funció'' f de x. Al subconjunt del codomini format per tots els valors o imatges se l'anomena ''imatge'', ''abast'' o ''recorregut de la funció''. Es denota per <math>{\rm im}(f)\,</math> o <math>{\rm im}_f\,</math> o <math>f(X)\,</math>.
{{equació|
<math> Im(f) = f(X):= \left\{y \in Y \;|\; \exists x \in X, \; f(x)=y\right\}</math>
||left}}
Una preimatge
Recordeu que pot haver-hi alguns elements del codomini que no siguin imatge d'un element del domini, però que cada element del domini és preimatge d'almenys un i només un element del codomini.
=== Exemples ===
[[Fitxer:Aplicación 2.svg|framed|dreta|Funció amb domini ''X'' i Rang ''Y'']]
* La funció definida
* Per a la funció <math>g \colon {\mathbb{R}} \to {\mathbb{R}}</math> tal que <math>g(x)=x^2\,</math>, en canvi, si bé el seu domini i codomini són iguals a <math>\mathbb{R}</math>, només tindrà com a imatge dels valors compresos entre 0 i + ∞.
: <math>{\rm D}_f = X = \{1, 2, 3,4\} \,</math>
: <math>{\rm C}_f \ = \; Y = \{a, b, c, d \} \,</math>
Tingueu en compte que, a cada element de ''X'', li correspon un únic element de ''Y''. A més, l'element ''a'' de ''Y'' no té origen, i l'element ''b'' en té dos (l'<math>1</math> i el <math>4</math>). Finalment,
: <math>{\rm Im}_f = \{b, c, d\}\subseteq Y.</math>
Línia 86:
== Funcions exhaustiva, injectiva, bijectiva ==
=== Funció exhaustiva (suprajectiva) ===
[[Fitxer:Surjection.svg|thumbnail|100px|Exemple de funció exhaustiva
En el cas de trobar-se, ''almenys'' un element x per a cada element y, la funció s'anomena '''''exhaustiva'''''.
En matemàtiques, una funció <math>f \colon X \to Y \,</math> és una [[funció exhaustiva]] ('''epijectiva''', '''suprajectiva''' o '''surjectiva'''), si està aplicada sobre tot el [[codomini]], és a dir, quan la [[Imatge (matemàtiques)|imatge]] <math>Im_f=Y\,</math>.
Línia 96:
=== Funció injectiva ===
[[Fitxer:Injection.svg|thumbnail|100px|Exemple de funció injectiva
En el cas de trobar-se,
En matemàtiques, una funció <math>f \colon X \to Y \,</math> és una [[funció injectiva]] o '''un és a un''' si per cada [[Imatge (matemàtiques)|Imatge]] de <math>f\,</math> li correspon un únic ''origen'' del [[domini de definició|domini]].
Línia 110:
=== Funció bijectiva ===
[[Fitxer:Bijection.svg|thumbnail|100px|Exemple de funció bijectiva
En matemàtiques, una funció <math>f \colon X \to Y \,</math> és una [[funció bijectiva]] si és al mateix temps [[funció injectiva|injectiva]] i [[funció exhaustiva|exhaustiva]].
Línia 121:
== Representació de funcions ==
Una funció es pot definir per qualsevol condició matemàtica que relacioni cada argument (variable d'entrada) amb el corresponent valor de sortida. Si el domini és finit, una funció ''f'' s'ha de definir per via d'una tabulació de tots els possibles arguments ''x'' i els seus corresponents valors de la funció ''f(x)''. De manera més comuna, una funció es defineix per una [[fórmula]], o (més generalment) un [[algorisme]] -
Existeixen moltes més maneres de definir funcions.
Les funcions es poden presentar de diferents maneres, la manera de representar-les es definirà en les
=== Gràfics ===
[[Fitxer:Function_x^3.svg|thumb|y=x<sup>3</sup>
La [[gràfica d'una funció]] és un conjunt de parells ordenats ''F''. Això és una abstracció de la idea d'una gràfica com una imatge mostrant la funció dibuixada sobre un parell d'eixos coordenats, per exemple, (2,8),
La gràfica permet visualitzar les tendències en la funció. És molt utilitzada per a les funcions contínues típiques del càlcul, encara que també n'hi ha per a funcions discretes.
=== Fórmules i algorismes ===
Utilitzant una relació matemàtica descrita mitjançant una expressió matemàtica: equacions de la forma <math>y=f(x)</math>. Quan la relació és funcional, és a dir, satisfà la segona condició de la definició de funció, es pot definir una funció que es diu ''definida per la relació''. Llevat que s'indiqui el contrari, se suposa en aquests casos que el domini és el major possible (respecte a inclusió) i que el codomini són tots els
: Exemple: ''y'' = ''x'' +2. Domini natural és tots els reals.
: Exemple: "Per a tot ''x'', nombre enter, ''y'' val ''x'' més dues unitats".
Diferents fórmules o algorismes poden descriure la mateixa funció. Per exemple, ''f(x)=(x+1)(x-1)'' és exactament la mateixa funció que ''f(x)=x<sup>2</sup>-1''.<ref>{{citar ref|títol=Theory of Recursive Functions and Effective Computation|cognom=Rogers, Jr.|nom= Hartley|editor=MIT Press|pàgines=pp.1-2.|any=1987|llengua=anglès|isbn=0-262-68052-1}}</ref> A més, una funció no necessita
La funció [[factorial]]:
:<math>!: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</math>
Línia 142:
=== Computacionalment ===
Les funcions que converteixen enters en enters, o cadenes finites en cadenes finites, poden definir-se sovint com un algorisme, que dóna una descripció precisa d'una sèrie de passos de computació que dóna com a sortida la funció, segons l'entrada donada. Les funcions definibles per un algorisme s'anomenen ''[[funció computable|funcions computables]]''. Per exemple, l'[[Algorisme d'Euclides|algorisme
Els resultats fonamentals de la [[teoria de computabilitat]] mostren que hi ha funcions que es poden definir precisament, sense
=== Amb taules ===
Línia 149:
Exemple:
''X''|-2 -1 0 1 2 3
''I''|0 1 2 3 4 5.
Com a parells ordenats: parells ordenats, molt usats en teoria de grafs.
Línia 173:
== Propietats bàsiques ==
Les funcions tenen propietats bàsiques generals i nocions
=== Imatge i antiimatge ===
{{principal|Imatge (matemàtiques)}}
Si ''A'' és un subconjunt del domini ''X'', aleshores ''f(A)'' és el subconjunt del codomini ''Y'', que consisteix en totes les imatges d'elements d'A. Es diu que ''f(A)'' és la ''imatge'' de A sota ''f''. La ''imatge'' de ''f'' ve donada per ''f(X)''. Per altra banda, la ''imatge inversa'' (o ''preimatge'', ''imatge inversa completa'') d'un subconjunt ''B'' del codomini ''Y'' sota una funció ''f'' és el subconjunt del domini ''X'' definit per:
:<math>f^{-1}(B) = \{x \in X : f(x) \in B\}.</math>
Per exemple, la preimatge de {4,9} sota la funció ''f(x)=x<sup>2</sup>'' és el conjunt {-3,-2,2,3}. El terme [[Recorregut_(matemàtiques)|''recorregut'']] es refereix normalment a la imatge,<ref name = "standard">{{citar ref|títol=Quantities and Units - Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology|editor=ISO/IEC|obra=ISO 80000-2|data=2009-12-01|llengua=anglès|pàgines=pp.15}}</ref> però a vegades es refereix al codomini.
Per definició d'una funció, la imatge d'un element ''x'' del domini és sempre un sol element ''y'' del codomini. De manera inversa, tot i això, la preimatge d'un conjunt [[singletó]] (un conjunt amb exactament un element) es podria, en general contenir qualsevol nombre d'elements. Per exemple ''f(x)=7'' (la [[funció constant]] que pren valor 7), aleshores, la preimatge de {5} és el conjunt buit, però la preimatge de {7} és el domini complet. És usual escriure ''f''<sup>−1</sup>({''b''}), per exemple:
Línia 186:
:<math>f^{-1}(b) = \{x \in X : f(x) = b\}.</math>
Aquest conjunt s'anomena sovint la [[fibra (matemàtiques)|''fibra'']] de ''b'' sota ''f''.
L'ús de ''f(A)'' per tal de denotar la imatge d'un subconjunt ''A''⊆''X'' és consistent sempre que
=== Composició de funcions ===
{{principal|Composició de funcions}}
[[Fitxer:Function machine5.svg|thumb|Una funció de composició ''g''(''f''(''x'')) es pot visualitzar com a composició de dos ''processos''. El primer pren l'entrada ''x'' i dóna com a sortida ''f''(''x''). El segon pren ''f''(''x'') i dóna com a sortida ''g''(''f''(''x'')).]]
La ''composició de funcions'' de dues funcions pren la sortida d'una funció com l'entrada per a una altra. Més específicament, la composició de ''f'' amb una funció
:<math>(g \circ f)(x) = g(f(x)).</math>
Això és, el valor de
:<math>g \circ f = f \circ g.</math>
Això vol dir, que l'ordre de composició és important. Per exemple, si se suposa ''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup> i ''g''(''x'') = ''x''+1. Aleshores, ''g''(''f''(''x'')) = ''x''<sup>2</sup>+1, mentre que
=== Funció identitat ===
{{principal|Funció identitat}}
L'única funció d'un conjunt ''X'' que dóna com a resultat de cada element
:<math>\begin{align}
f \circ \mathrm{id}_X &= f, \\
Línia 208:
=== Restriccions i extensions ===
{{principal|Restricció (matemàtiques)}}
De manera informal, la restricció d'una funció és el resultat d'escapçar el seu domini. Més precisament, si ''S'' és qualsevol subconjunt d'''X'', la restricció de ''f'' a ''S'' és la funció ''f|<sub>S</sub>'' de ''S'' a ''Y'', de manera que ''f|<sub>S</sub>(s)=f(s)'' per tota s a S. Si g és una restricció de ''f'', aleshores es diu que ''f'' és una extensió de ''g''.
La sobreescriptura de ''f'': ''X→ Y'' per ''g'': ''W → Y'' (anomenada també ''unió de sobreescriptura'') és una extensió de g denotada com a ''(f ⊕ g): (X ∪ W) → Y''. La gràfica o graf d'aquesta és la unió de conjunts teòrics dels grafs ''g'' i ''f|<sub>X \ W</sub>''. D'aquesta manera, es relaciona qualsevol element del domini ''g''
=== Funció inversa ===
{{principal|Funció inversa}}
Una ''funció inversa'' per a ''f'', que es denota com a ''f''<sup>-1</sup>, és una funció en la direcció
:<math>f \circ f^{-1} = id_Y, f^{-1} \circ f = id_X.</math>
Això és, les
Com a exemple simple, si ''f'' converteix una temperatura en graus Celsius ''C'' a graus Fahrenheit ''F'', la funció que converteix els graus Fahrenheit a graus Celsius seria una ''f''<sup>−1</sup> adequada
:<math>\begin{align}
f(C) &= \frac {9}{5} C + 32 \\
Línia 224:
\end{align}</math>
Una inversa com aquesta
== Tipus de funcions ==
=== Funcions de valor real ===
Una funció de valor real ''f'' és una
Les funcions de valor real tenen també propietats d'operació a nivell de punts. Això seria que, donades dues funcions
:''f'', ''g'': ''X'' → ''Y''
:<math>\begin{align}
(f+g)(x) &= f(x)+g(x), \\
Línia 238:
\end{align}</math>
En un mode similar, l'[[anàlisi complexa]] estudia funcions de les quals el domini i codomini és un conjunt dels [[Nombre complex|nombres complexos]].
La taula següent conté algunes de les funcions de valor real particularment importants:
Línia 245:
! [[Transformació afí]] !! [[Funció quadràtica]] !! [[Funció contínua]] !! [[Funció trigonomètrica]]
|-
| [[Fitxer:Gerade.svg|thumb|Una funció afí
[[Fitxer:Sine cosine one period.svg|thumb|La funció sinus i cosinus
|-
| ''f''(''x'') = ''ax'' + ''b''
|}
=== Altres tipus de funcions ===
Existeixen moltes altres classes de funcions que són importants per a algunes branques de les matemàtiques o per a aplicacions particulars.
Heus-ne ací una llista parcial:
{{div col|3}}
*[[Funció derivable|derivable]], [[Integració|integrable]]
Línia 267:
== Història ==
=== Etimologia ===
La paraula
=== Les funcions abans de Leibniz ===
:''Històricament, es pot considerar que alguns matemàtics preveieren i s'acostaren a una formulació moderna del concepte de funció. Un d'ells fou [[Nicole Oresme|Oresme]] (1323–1382)
== Vegeu també ==
* [[Llista de funcions matemàtiques]].
* [[Funció real]].
* [[Funció discreta]].
* [[Domini (matemàtiques)|Domini]].
* [[Funció injectiva]].
* [[Funció bijectiva]].
* [[Funció exhaustiva]].
== Referències ==
|