Diferència entre revisions de la pàgina «Quàdrica»

8 bytes afegits ,  fa 5 anys
cap resum d'edició
En [[matemàtiques]], una '''quàdrica''' o '''superfície quàdrica''' és una hipersuperfície definida en un [[espai vectorial]] n-dimensional, pels punts que anul·len un [[polinomi]] quadràtic. Si les [[coordenada|coordenades]] d'aquest espai són <math>\left\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\right\}\,</math>, l'equació de qualsevol quàdrica en aquest espai serà: <math>\sum_{i,j=1}^{n}P_{i,j}x_{i}x_{j}+\sum_{k=1}^{n}Q_{k}x_{k}+R=0\,</math>, onen què no tots els valors de <math>P_{(i,j)}\,</math> són iguals a <math>0\,</math>.
En general, els coeficients d'aquesta equació seran valors de qualsevol [[Cos (matemàtiques)|cos]], sobre el quèqual s'ha definit l'[[espai vectorial]]. Malgrat això, a partir d'ara, només considerarem quàdriques sobre el cos <math>\mathbb{R}\,</math>.
 
==Còniques==
 
En el cas concret que <math>n=2\,</math>, les quàdriques resultants, prenen el nom de [[cònica|''còniques'']], i l'anterior equació pren la forma: <math>(Ax^{2}+By^{2}+2Cxy)+(2Dx+2Ey)+F=0\,</math>. El nom de [[cònica|''còniques'']] prové del fet que es pot demostrar que qualsevol cònica és la intersecció d'un cert con per un determinat pla. L'anterior equació anterior es pot escriure de la forma matricial següent:
 
<math>X^\prime MX=0\,</math>
 
OnEn què:
<math>X=\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}\,</math>
 
<math>M=\begin{pmatrix}A & C & D \\ C & B & E \\ D & E &F \end{pmatrix}\,</math>
 
Segons la [[forma canònica]] que adopti la matriu <math>M\,</math>, trobem les diferents solucions que tenen les còniques
(<math>a,b,m\,</math> són valors reals, diferents de <math>0\,</math>):
 
{|
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1\,</math>
|[[el·lipse]] imaginària.
|-
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\,</math>
|[[el·lipse]] real.
|-
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=0\,</math>
|dues [[recta|rectes]] imaginàries no paral·leles.
|-
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\,</math>
|[[hipèrbola]].
|-
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=0\,</math>
|dues [[recta|rectes]] reals no paral·leles.
|-
|<math>y=mx^{2}\,</math>
|[[paràbola]].
|-
|<math>a^{2}x^{2}=-1\,</math>
|dues [[recta|rectes]] imaginàries paral·leles.
|-
|<math>a^{2}x^{2}=1\,</math>
|dues [[recta|rectes]] reals paral·leles.
|-
|<math>mx^{2}=0\,</math>
|dues [[recta|rectes]] coincidents.
|-
|<math>x=0\,</math>
|una [[recta]] real.
|}
 
==Quàdriques==
 
Més amunt, hi ha la definició general de quàdrica. Però, normalment, s'entén per quàdrica el cas concret en què <math>n=3\,</math>. En aquest cas, la matriu <math>M\,</math>, serà: de la forma:
Si
 
l'equació de la quàdrica serà també: <math>X^\prime MX=0\,</math>
 
Si es classificaclassifiquen les seves formes canòniques, es troba la següent llista següent:
 
{|
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=-1\,</math>
|[[el·lipsoide]] imaginari.
|[[Fitxer:Quadric Ellipsoid.jpg|150px|El·lipsoide]]
|-
|-
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^2}{c^2}=1\,</math>
|[[Hiperboloide|Hiperboloidehiperboloide d'un full]]
|-
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^2}{c^2}=1\,</math>
|[[Hiperboloide|Hiperboloidehiperboloide de dos fulls]]
|-
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^2}{c^2}=0\,</math>
|[[Concon]] real
|-
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+z=0\,</math>
|[[Paraboloide|Paraboloideparaboloide el·líptic]]
|[[Fitxer:Quadric Elliptic Paraboloid.jpg|150px|Paraboloide el·líptic]]
|-
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1\,</math>
|Superfíciesuperfície [[Cilindre|cilíndrica]] imaginària
|-
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\,</math>
|Superfíciesuperfície [[Cilindre|cilíndrica]] el·líptica
|-
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=0\,</math>
|Dosdos [[pla|plans]] imaginaris no paral·lels
|-
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}+z=0\,</math>
|[[Paraboloideparaboloide]] hiperbòlic
|[[Fitxer:Quadric Hyperbolic Paraboloid.jpg|150px| Paraboloide hiperbòlic]]
|-
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\,</math>
|Superfíciesuperfície [[Cilindre|cilíndrica]] hiperbòlica
|-
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=0\,</math>
|Dosdos [[pla|plans]] reals no paral·lels
|-
|<math>x^{2}+mz=0\,</math>
|Superfíciesuperfície [[Cilindre|cilíndrica]] parabòlica
|-
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}=-1\,</math>
|Dosdos [[pla|plans]] imaginaris paral·lels
|-
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}=1\,</math>
|Dosdos [[pla|plans]] reals paral·lels
|-
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}=0\,</math>
|Dosdos [[pla|plans]] reals coincidents
|-
|<math>x=0\,</math>
|Unun [[pla]] únic real
|}
 
També existeix la possibilitat d'un [[conjunt|conjunt buit]] i de la de tot l'[[espai]].
 
 
20.248

modificacions