Teoria de conjunts: diferència entre les revisions

La '''teoria de conjunts''' és la branca de les matemàtiques que estudia els [[conjunt]]s. El primer estudi formal sobre el tema va ser realitzat pel matemàtic [[Alemanya|alemany]] [[Georg Cantor]] elal [[segle XIX]].

La definició de l'accepció matemàtica de la paraula catalana ''conjunt'' que dóna [[Pompeu Fabra]] alen el diccionari, coincideix gairebé exactament amb la traducció de l'alemany al català de la definició que va donar el principal creador de la teoria de conjunts, [[Georg Cantor]], al començament de la seva obra ''Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre'':<ref>Quoted in Dauben, p. 170.</ref>

El concepte de conjunt és fonamental en [[matemàtiques]], perquè es troba, implícitament o explícita, en totes les branques de les matemàtiques pures i aplicades. En la seva forma explícita, els principis i la terminologia dels conjunts s'utilitzen per a construir proposicions matemàtiques més clares i precises i per a explicar conceptes abstractes, com ara el concepte d'[[infinit]].

Aquesta definició és problemàtica des del punt de vista formal, ja que, en definir un conjunt per una propietat, s'arriba a la [[paradoxa de Russell]] definint ''A'' = {''x''|''x'' ∉ ''x''} (es llegeix ''A'' està format per tots els elements ''x'' tals que ''x'' no pertany a ''x''). Veiem que, si ''A'' pertany a ''A'', s'ha de complir que ''A'' no pertany a ''A'', i que si ''A'' no pertany a ''A'', s'ha de complir que ''A'' pertany a ''A'': una propietat i la seva negació s'han de complir al mateix temps. Això va portar a considerar desenvolupaments axiomàtics com els de [[Ernst Zermelo|Zermelo]]-[[Adolf Fraenkel|Fraenkel]] i [[john von Neumann|von Neumann]], que eviten aquesta paradoxa o contradicció de la teoria.

Suposem que hi ha dos tipus de conjunts: els ''normals'', que no es contenen a si mateixos com a element; i els ''anormals'', que es contenen a si mateixos com a element. Per a existir, un conjunt ''A'' hauria de ser de només d'un dels dos tipus. Pensem ara en el conjunt ''V'' els elements del qual són tots els ''conjunts normals'': el conjunt ''V'' és ''normal'' o ''anormal''? Si ''V'' fóra ''normal'', es contindria a si mateix com a element, ja que ''V'' està format per tots els ''conjunts normals'', però, en contenir-se a si mateix com a element, seria ''anormal''.

;Classes:

;Conjunts:

Hi ha una distinció entre ''conjunts'' i ''classes'', onen què les classes que no siguin conjunts no poden ser elements d'altres classes. Apareix la teoria axiomàtica de conjunts cercant dos fins: garantir l'existència d'un conjunt i assegurar les construccions amb conjunts que donen com a resultat altres conjunts.

A continuació, s'exposa el desenvolupament intuïtiu de la teoria perquè és el més natural per a la majoria de les persones.

[[Georg Cantor|Cantor]] va ser el principal creador de la teoria dels conjunts,; ho va fer d'una forma que avui es qualifica de [[teoria ingènua de conjunts]]. Però, al costat de consideracions elementals, la seva teoria implicava nivells d'abstracció elevats. La verdadera novetat de la teoria de Cantor, és que permet parlar de l'infinit. Per exemple, una idea important de Cantor ha estat definir l'[[equipotència]]. Dos conjunts ''A'' i ''B'' són equipotents, o el que és el mateix, tenen la mateixa [[Nombre cardinal|cardinalitat]] (quan són finits vol dir que tenen el mateix nombre d'elements), si existeix una manera d'associar a cada element d'de ''A'' un i només un element de ''B'' i viceversa. Així, es pot demostrar que el conjunt <math>\mathbb{N}\,</math> dels [[nombre natural|naturals]] té la mateixa cardinalitat que el conjunt <math>\mathbb{Q}\,</math> dels [[nombres racionals]], encara que <math>\mathbb{N}\,</math> sigui un [[subconjunt propi]] de <math>\mathbb{Q}\,</math>. Aquests dos conjunts s'anomenen ''infinits [[conjunt numerable|numerables]]''. D'altra banda, el conjunt <math>\mathbb{R}\,</math> dels [[nombres reals]] no té no la mateixa cardinalitat que <math>\mathbb{N}\,</math> o <math>\mathbb{Q}\,</math>, sinó una cardinalitat superior: es diu que és ''no numerable''. Cantor va donar dues demostracions de quèque <math>\mathbb{R}\,</math> no és numerable,; la segona d'aquestes demostracions, que fa servir un argument conegut amb el nom ld'[[argument de la diagonal de Cantor|''argument de la diagonal de Cantor'']], ha estat extraordinàriament influent i ha tingut nombroses i diverses aplicacions en lògica i en matemàtiques.

Cantor va aprofundir en la teoria i va construir jerarquies infinites de conjunts infinits, els [[nombre ordinal|nombres ordinals]] i els [[nombre cardinal|nombres cardinals]]. Aquestes construccions van ser discutides en la seva època,; l'oposició principal la mantenia [[Léopold Kronecker]]; però avui en dia s'accepten per la majoria dels matemàtics.

El desenvolupament de la teoria de conjunts per Cantor era encara «ingènua» en el sentit que no feia servir encara una [[axiomàtica]] precisa, i perquè per a ell no hi havia més que una sola teoria dels conjunts, un sol univers de conjunts esperat, mentre que els teòrics dels conjunts d'avui fan jocs malabars amb universos diferents.

Després, de vegades, s'ha simplificat, bastant injustament amb Cantor, resumint la seva teoria aen un ús tàcit de l'[[axioma d'extensionnalitat|axioma d'extensionalitat]], i una versió massa forta de l'esquema d'axiomes de comprensió, que en substància permetria associar a tota propietat el conjunt objectes que verifiquen aquesta propietat. Tal teoria, que no s'atribuiria a Cantor, és contradictòria. Porta a dues famílies de paradoxes. Unes, com la [[paradoxa de Berry]] o la [[paradoxa de Richard]], es relacionen alamb el fet que el llenguatge no està ben definit, elsles altres, com la [[paradoxa de Russell]] a un ús massa ampli de la comprensió: quan s'intenta construir el conjunt S = {A|A no pertany a A} de tots els conjunts que no pertanyen a ellssi mateixos, es cau en una contradicció. L'actual [[esquema d'axiomes de comprensió]], proposat per Zermelo, es restringeix per tal d'evitar aquesta paradoxa.

Al tombartombant del segle, Cantor està cada vegada més impedit per la seva malaltia nerviosa, però les seves solucions a les paradoxes circulen per la seva correspondència i són conegudes, al final del [[segle XIX]], per [[Richard Dedekind]] i, a Göttingen, deper [[David Hilbert]] i d'[[Ernst Zermelo]]. Tanmateix, per a molts matemàtics de l'època, les paradoxes plantegen un dubte sobre la validesa de la teoria dels conjunts,; les solucions proposades per Cantor són massa informals per a convèncer els que les coneixen. Alguns s'orienten cap al mètode axiomàtic, il·lustrat a la mateixa època per Hilbert per als fonaments de la geometria (1899).

Així, el [[1908]], [[Ernst Zermelo]] construeix un sistema d'axiomes per a la teoria dels conjunts. Fora de l'[[axioma d'extensionalitat]], aquests axiomes es poden veure com una restricció de la versió contradictòria de l'esquema d'axiomes de comprensió als casos particulars útils, que no permeten deduir les paradoxes. En aquest sistema, s'inclou igualment l'[[axioma d'elecció]] (que no té res a veure amb la comprensió), un axioma molt polèmic en aquell temps, amb el qual s'ha demostrat (el 1904) el [[teorema de Zermelo]], i que igualment ha estat fet servir implícitament per Cantor. El sistema de Zermelo es va completar en els anys 1920 per [[Abraham Fraenkel|Abraham Adolf Fraenkel]] i [[Thoralf Skolem]], que afegiran l'esquema d'axiomes de substitució (altre cas particular de la comprensió no restringida), que dóna la teoria coneguda avui sota el nom de ''ZF'' (sense axioma de d'elecció) o ''ZFC'' (amb l'axioma de d'elecció). Altres autors han treballat sobre el problema de l'axiomatització de la teoria dels conjunts, sobretot [[John Von Neumann]], que va definir una alternativa molt interessant a ZF: la [[teoria de les classes]].

Un conjunt es representa mitjançant claus que contenen els seus elements, ja siga de formamanera explícita, escrivint tots i cada un dels elements, o donant una fórmula, regla o proposició que els descriga. Per exemple,

* ''S''₂ = {2, 4, 6, ...} = {tots els enterenters parells més grans que 1}

Exemples: si tenim els conjunts:

Aquestes són les propietats de l'àlgebra de conjunts, la qual és un cas particular del sistema algebraic conegut com a [[Àlgebra de Boole|''àlgebra de Boole'']].

Si ''A'' i ''B'' són dos conjunts, el conjunt de tots els possibles parells ordenats d'elements de la forma (''a'', ''b''), onen què ''a'' ∈ ''A'' i ''b'' ∈ ''B'', es denomina [[producte cartesià|''producte cartesià'']] de ''A'' i ''B'', escrit normalment com ''A'' × ''B''.

Donats dos conjunts ''A'' i ''B'', podem trobar diverses formesmaneres de relacionar els elements de ''A'' amb els elements de ''B''.

Per exemple, els elements del conjunt ''A'' = {1, 2, 3} es poden relacionar o fer correspondre mitjançant una correspondència ''f'' amb els elements del conjunt ''B'' = {''x'', ''y'', ''z''}, de manera que a tot element de ''A'' li corresponga un, cap o diversos elements de ''B''. Això també es pot expressar així:

L'[[axioma d'elecció]] va aparèixer explícitament en una publicació d'[[Ernst Zermelo]] dedel 1904,; és a dir, abans de l'aparició de la seva axiomatització de la teoria dels conjunts. L'axioma d'elecció és, en efecte, d'una naturalesa diferent dels altres axiomes de la teories dels conjunts enunciats ulteriorment, i que resulten per a la majoria d'una anàlisi detallada de l'[[esquema d'axiomes d'especificació]]. En efecte, l'axioma d'elecció no dóna cap definició explícita del conjunt construït (conjunt de elecciod'elecció o funció d'elecció, segons les versions). D'altra banda, al seu article dedel 1904, Zermelo demostra amb l'axioma d'elecció el seu famós teorema que enuncia que tot conjunt pot ser ben ordenat, proposició que no té res d'intuïtivament evident. L'axioma d'elecció va ser utilitzat tàcitament almenys per [[Georg Cantor]], però la publicació de Zermelo posa en marxa debats apassionats amb els matemàtics de l'épocaèpoca.<ref>On trouve dans les ''leçons sur la théorie des fonctions'' d'[[Emile Borel]] Gauthiers-Villars 4ème édition 1950, un échange de lettres à ce sujet entre [[René Baire]], [[Jacques Hadamard]], [[Henri Lebesgue]] et Borel lui-même; les lettres apparaissent dans la note IV introduite à partir de la seconde édition).</ref>

L'axioma d'elecció està, d'altra banda, molt vinculat a l'infinit matemàtic,; en efecte, l'axioma d'elecció és ''intuïtivament'' verdader per a un nombre finit de d'eleccions, i d'altra banda demostrable, en aquest cas, a partir dels altres axiomes de la teoria dels conjunts. Ara bé, al voltant dedel 1904, entrem de ple en la controvèrsia posada en marxa pel descobriment de les paradoxes.<ref>le [[paradoxe de Russell]] et d'autres, est paru dans les ''principles of mathematics'' du dit [[Bertrand Russell|Russell]] en 1903, le [[paradoxe de Richard]] est publié en 1905 ...</ref> Llavors, diverses concepcions de l'infinit matemàtic s'enfronten. Això arribarà, fins i tot, a qüestionar radicalment els fonaments de les matemàtiques per part de [[Luitzen Egbertus Jan Brouwer]], fundador de l'[[intuïcionisme]], que descarta el [[principi del terç exclòs]], que se situa força més amunt de l'axioma d'elecció. Tanmateix, en aquell temps, certs matemàtics que no van tan lluny i accepten certes formes de raonament no constructiu, desconfien de l'axioma d'elecció. [[Emile Borel]] escriu enel 1950:<ref>Préface de la 4ème édition des ''leçons sur la théorie des fonctions''</ref> És ja un resultat important obtingut pels adversaris de l'axioma de Zermelo que tots els que admeten aquest axioma prenen la cura, quan obtenen un teorema nou, d'especificar si la demostració d'aquest teorema exigeix o no la utilització de l'axioma de Zermelo. Aquest axioma ha creat així una branca separada de les matemàtiques; la importància i l'interès d'aquesta branca decidiran de la seva sort. En tot cas, Eses pot dir que avui, vistvista justament la seva utilització en branques importants de les matemàtiques, l'axioma d'elecció és àmpliament acceptat.

Això encara més des que se sap, a partir dels treballs de Gödel,<ref name="constructibles">[[Kurt Gödel]]. ''The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory'', Princeton University Press.ISBN 0-691-07927-7.</ref> que admetre l'axioma d'elecció ja no és «arriscat», en el sentit que demostra que si la teoria ZFC fos incoherent, la teoria ZF ho també ho seria (vegeu la secció sobre els resultats d'independència en teoria dels conjunts).

D'altra banda, s'han identificat restriccions de l'axioma d'elecció, com l'axioma d'elecció enumerable (que permet, per exemple, demostrar que una reunió numerable de conjunts numerables és numerable),; ellaquest mateix és conseqüència de l'axioma d'elecció depenent (quique permet, per exemple, demostrar l'existència d'una successió infinita decreixent per a una [[relació ben fonamentada|relació no ben fonamentada]]). Així, [[Robert M. Solovay|Robert Solovay]] va publicar el 1970 la coherència de la teoria ZF + l'axioma d'elecció depenent + tot subconjunt dels reals és [[mesura de Lebesgue|Lebesgue-mesurable]], teoria que contradiu l'axioma d'elecció en tota la seva generalitat, relativament a la la teoria ZF + existeix un cardinal inaccessible (un reforç de la teoria ZF que permet demostrar la coherència de ZF).<ref>Robert M. Solovay ''A model of set theory in which every set of reals is Lebesgue mesurable'', Annals of Math. 92, 1970, pp 1-56.</ref> Tanmateix, l'axioma d'elecció enumerable és insuficient en geometria algebraica, ja que el tractament dels cossos algebraicament tancats requereix el [[lema de Zorn]], que és equivalent a l'axioma d'elecció; per tant, el teorema segons el qual tot cos pot ser submergit en un cos algebraicament tancat es basa en l'axioma d'elecció general.<ref>Ouvrage collectif ''Penser les mathématiques'' (séminaire de l'ENS) Editions du Seuil, Paris 1982 ISBN 2 02 006061 2 note 7 p.35</ref>

Un dels millors exemples de les rareses a quequè condueix l'axioma d'elecció és certament la [[paradoxa de Banach-Tarski]], publicada enel 1924<ref>[[Stefan Banach]] and [[Alfred Tarski]], [http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm6/fm6127.pdf ''Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes''], [[Fundamenta Mathematicae]], '''6''', (1924), 244–277. [http://www.emis.de/cgi-bin/JFM-item?50.0370.02 Review at JFM]</ref> que, fent servir l'axioma d'elecció, afirma que es pot tallar una esfera en un nombre finit de trossos, desplaçar-los per una successió de moviment rígids ([[translació (geometria)|translació]] i [[rotació]]), tot permetent a certes peces travessar-ne d'altres i reunir-los altre cop formant dues còpies de l'esfera original. Això sembla contradir la intuïció física que es té de la noció de volum, però la paradoxa de Banach-Tarski fa intervenir parts no mesurables.

Els sistemes axiomàtics de la teoria de conjunts, el ZF, la [[Teoriateoria de classes]] i la [[Teoriateoria dels tipus]] són equivalents pel cap baix, en el sentit que tots permeten representar l'essència de les matemàtiques. Entre ellsaquests, el ZF és el més habitual i és el que es descriu de manera informal tot seguit.

La teoria que es basa en els axiomes originals de Zermelo s'anomena ''teoria de Zermelo'' o ''teoria Z''. Si es completa amb l'[[axioma de reemplaçament]] de Fraenkel, s'obté la teoria de ''Zermelo-Fraenkel'', o més simplement la teoria ''ZF'', encara que la forma final dels axiomes és deguda a Skolem. Quan se li assigna l'[[axioma d'elecció]], llavors s'obté la ''teoria ZFC'' («C» per 'elecció', que és « choice » en anglès).

Un aspecte important de la teoria ZF és que tots els objectes de què tracta són conjunts i no poden ser més que conjunts. En particular, cada element d'un conjunt ell mateixtambé és un conjunt. Altres objectes matemàtics familiars, tals com els nombres, han de ser definits, per tant, en termes de conjunts.

Estrictament parlant, els axiomes de ZF són simplement enunciats del [[càlcul dels predicats]] del primer ordre, equivalent a un llenguatge que té un sol símbol primitiu per a la pertinença ([[relació binària]]). Per tant, el que segueix s'ha d'entendre només com una temptativa d'expressar en català el significat que s'espera d'aquests axiomes. És més, l'axioma de separació (o comprensió) i l'axioma de substitució són, de fet, esquemes infinits d'axiomes.

# [[Axioma d'extensió]]: Sisi dos conjunts tenen els mateixos elements, llavors són idèntics.

# [[Axioma del conjunt buit]]: Existeixexisteix un conjunt sense cap element. Es nota <math>\varnothing</math> (o menys freqüentment) <math>\{\}</math>). Parlant en propietat, Aquest axioma no forma part de l'axiomatització de ZF, pelcapbaixpel cap baix en la seva versió actual, formalitzada en càlcul de predicats de primer ordre. Es pot deduir d'una propietat genèrica del càlcul de predicats, que és que un model d'una teoria és no buit. En el cas de la teoria dels conjunts, això significa dir que existeix almenys un conjunt, i aquesta propietat no requereix cap axioma específic: es demostra en lògica pura. D'aquí es dedueix, per l'esquema d'axiomes de comprensió, l'existència del conjunt buit. Tanmateix, aquest axioma es troba en variants de la teoria dels conjunts, o en presentacions més antigues o semiformals de la teoria ZF, com a la de Paul Halmos.<ref name="halmos">[[Paul Richard Halmos|Halmos, P.R.]], ''Naive Set Theory'', D. Van Nostrand Company, Princeton, NJ, 1960. Reprinted, Springer-Verlag, New York, NY, 1974, ISBN 0-387-90092-6. trad. Française ''Introduction à la théorie des ensembles, Gauthier-Villars Paris 1965.</ref>

# [[Axioma d'aparellament]]: Sisi ''x'' i ''y'' són dos conjunts,; llavors, existeix un conjunt que conté ''x'' i ''y'' i només ellsaquests com a elements. Aquest conjunt es nota <math>\{x,y\}</math>. Cal observar que ''x'' i ''y'' no són necessàriament diferents. Aquest axioma és conseqüència de l'[[esquema de substitució]], però no de l'[[esquema de comprensió]],; també se'l pot ometre en la teoria ZF, però és indispensable en la teoria Z.

# [[Axioma de reunió]]: Perper a tot conjunt ''X'', existeix un conjunt ''R'' els elements del qual són precisament els elements dels elements de ''X'' i només ellsaquests.

# [[Axioma del conjunt de les parts]]: Perper a tot conjunt ''E'', existeix un conjunt els elements del qual són precisament els subconjunts d{{'}}''E''. Aquest conjunt es nota habitualment <math>P(E)</math>.

# [[Axioma de l'infinit]]: Existeixexisteix un conjunt ''W'' tal que <math>\varnothing</math> és element seu i tal que per a tot ''x'' que pertany a ''W'', <math>x \cup \{x\}</math> pertany també a ''W''. Llavors, es pot definir per comprensió la intersecció de tots els conjunts que contenen <math>\varnothing</math> i són tancats respecte d'aquesta operació: es tracta del conjunt dels nombres naturals tals com els defineix von Neumann.

# [[Esquema d'axiomes de comprensió]] o de separació: per a tot conjunt ''A'' i per a tota propietat ''P'' expressada en el llenguatge, existeix un conjunt els elements del qual són els elements d{{'}}de ''A'' que verifiquen ''P''. L'esquema de comprensió és conseqüència de l'esquema de substitució que segueix.

# [[Esquema d'axiomes de substitució]]: Perper a tot conjunt ''A'' i per a tota relació funcional ''P'', formalment definida com una proposició <math>P(x,y)</math> tal que <math>P(x,y)</math> i <math>P(x,z)</math> impliquen que <math>y = z</math>, existeix un conjunt que conteconté precisament les imatges per a ''P'' dels elements del conjunt d'origen ''A''.

# [[Axioma de regularitat]]: Tottot conjunt ''X'' no buit conté un element ''y'' tal que ''X'' i ''y'' són conjunts disjunts (que no tenen cap element en comú), elcosa que es nota <math>X \cap y = \varnothing</math>. Aquest axioma s'afegeix molt sovint a Z o ZF. Es pot construir bastant fàcilment com a subclasse d'un model qualsevol de ZF, un model de ZF que verifica l'axioma de regularitat. Els conjunts útils per al desenvolupament de les matemàtiques usuals pertanyen a aquesta subclasse, i per tant té poca importància afegir o no aquest axioma a la teoria per a aquests desenvolupaments. L'axioma de regularitat, per exemple, no es menciona alen el llibre de Halmos,<ref name="halmos"/> l'objectiu del qual és el de presentar els aspectes de la teoria dels conjunts útils per al matemàtic no especialista d'aquest àmbit. L'axioma de regularitat, en canvi, és molt útil en l'àmbit especialitzat de la teoria de conjunts,; permet jerarquitzar l'univers de conjunts, definir un rang ordinal ... Per altra banda, s'han desenvolupat teories dels conjunts, extensions de ZF sense regularitat,; aquestes teories introdueixen un axioma d'antiregularitat (n'existeixexisteixen diverses variants) que contradiu directament l'axioma de regularitat. L'antiregularitat és una idea bastant antiga (Dimitri Mirimanoff, 1917, [[Paul Finsler]], 1926), però aquestes teories han conegut una recuperació d'interès per a la seva relació amb la [[informàtica teòrica]].<ref>voir le livre de Peter Aczel, ''Non-Well-Founded Sets'', CSLI Lecture Notes, Vol.14, CSLI Publications, Stanford, California, 1988.</ref>

# [[Axioma d'elecció]]: (versió de Zermelo) Donatdonat un conjunt ''X'' de conjunts no buits mútuament disjunts, existeix un conjunt ''y'' (el conjunt de d'''elecció'' per ''X'') que conté exactament un element per a cada membre de ''X''.

L'axioma d'elecció continua sent discutit per a una minoria de matemàtics. ExisteixenN'hi ha formes febles, com l'axioma d'elecció dependent, molt útil per al desenvolupament de l'anàlisi real.

Gairebé tots els conceptes matemàtics es defineixen avui en dia formalment en termes de conjunts i conceptes teòrics de teoria de conjunts. Per exemple, estructures matemàtiques tan diverses com [[graf]]s, [[varietat (matemàtiques)|varietats (matemàtiques)]]s, [[anell (matemàtiques)|anells (matemàtics)]]s, i [[espai vectorial|espais vectorials]] es defineixen completament com a conjunts que tenen diverses propietats (axiomes). La [[relació d'equivalència]] i les [[relació d'ordre|relacions d'ordre]] són ubiqües en matemàtiques, i la teoria de [[relació (matemàtiques)|relacions]] es basa totalment en la teoria de conjunts.

La teoria de conjunt és també un sistema prometedor per a fonamentar la majoria de les matemàtiques. Des de la publicació del primer volum de [[Principia Mathematica (Russell-Whitehead)|''Principia Mathematica'']], s'ha afirmat que molts o fins i tot tots els teoremes matemàtics es poden demostrar fent servir un conjunt dissenyat de manera adequada d'axiomes amb la teoria de conjunts, augmentada amb moltes definicions, fent servir [[lògica de primer|lògica de primer ordre]] o de [[lògica de segon ordre|segon ordre]]. Per exemple, les propietats dels [[nombres naturals]] i dels [[nombres reals]] es poden obtenir dins de la teoria de conjuntconjunts, donatja que cada sistema de nombres es pot identificar amb un conjunt de [[classe d'equivalència|classes d'equivalència]] sota una relació d'equivalència adequada el camp de la qual és algun [[conjunt infinit]].

La teoria de conjunts com a fonament per a l'[[anàlisi matemàtica]], la [[topologia]], l'[[àlgebra abstracta]], i les [[matemàtiques discretes]] és de la mateixa manera incontrovertida; els matemàtics accepten que (en principi) els teoremes en aquestes àrees poden ser deduïts de les definicions pertinents i els axiomes de la teoria de conjunts. S'han verificat formalment poques deduccions completes de teoremes matemàtics complexos a partir de la teoria de conjuntconjunts, tanmateix, perquè tals deduccions formals són sovint molt més llargues que el llenguatge natural amb el quequal els matemàtics presenten habitualment les demostracions.

* [[Paradoxa de Skolem]].