Teoria de conjunts: diferència entre les revisions

[[Georg Cantor|Cantor]] va ser el principal creador de la teoria dels conjunts; ho va fer d'una forma que avui es qualifica de [[teoria ingènua de conjunts]]. Però, al costat de consideracions elementals, la seva teoria implicava nivells d'abstracció elevats. La verdadera novetat de la teoria de Cantor és que permet parlar de l'infinit. Per exemple, una idea important de Cantor ha estat definir l'[[equipotència]]. Dos conjunts ''A'' i ''B'' són equipotents, o el que és el mateix, tenen la mateixa [[Nombre cardinal|cardinalitat]] (quan són finits vol dir que tenen el mateix nombre d'elements), si existeix una manera d'associar a cada element de ''A'' un i només un element de ''B'' i viceversa. Així, es pot demostrar que el conjunt <math>\mathbb{N}\,</math> dels [[nombre natural|naturals]] té la mateixa cardinalitat que el conjunt <math>\mathbb{Q}\,</math> dels [[nombres racionals]], encara que <math>\mathbb{N}\,</math> sigui un [[subconjunt propi]] de <math>\mathbb{Q}\,</math>. Aquests dos conjunts s'anomenen ''infinits [[conjunt numerable|numerables]]''. D'altra banda, el conjunt <math>\mathbb{R}\,</math> dels [[nombres reals]] no té la mateixa cardinalitat que <math>\mathbb{N}\,</math> o <math>\mathbb{Q}\,</math>, sinó una cardinalitat superior: es diu que és ''no numerable''. Cantor va donar dues demostracions que <math>\mathbb{R}\,</math> no és numerable; la segona d'aquestes demostracions, que fa servir un argument conegut amb el nom d'''[[argument de la diagonal de Cantor|]]''argument de la diagonal de Cantor'']], ha estat extraordinàriament influent i ha tingut nombroses i diverses aplicacions en lògica i en matemàtiques.

Aquestes són les propietats de l'àlgebra de conjunts, la qual és un cas particular del sistema algebraic conegut com a ''[[Àlgebra de Boole|''àlgebra de Boole]]'']].

Si ''A'' i ''B'' són dos conjunts, el conjunt de tots els possibles parells ordenats d'elements de la forma (''a'', ''b''), en què ''a'' ∈ ''A'' i ''b'' ∈ ''B'', es denomina ''[[producte cartesià|]]''producte cartesià'']] de ''A'' i ''B'', escrit normalment com ''A'' × ''B''.