Revisió del 20:16, 15 set 2015 modifica Maria Fullana de València (discussió \| contribucions) 24.358 edits Cap resum de modificació Etiqueta: editor visual ← Edició anterior		Revisió del 20:20, 15 set 2015 modifica desfés Maria Fullana de València (discussió \| contribucions) 24.358 edits Cap resum de modificació Etiqueta: editor visual Edició següent →
Línia 17: Un '''espai vectorial euclidià''' és un [[espai vectorial]] sobre <math>\mathbb R</math>, de dimensió finita ''n'' i dotat d'un [[producte escalar]]. En qualsevol espai vectorial, sempre s'hi pot trobar una [[base ortonormal]]. En una tal base, es defineix el producte escalar ''canònic'' per: : <math>\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle=\langle(u_1,u_2,...,u_n),(v_1,v_2,...,u_n)\rangle= u_1v_1+u_2v_2+...+u_nv_n</math>. Quan es té definit un producte escalar, és possible definir una [[Norma (matemàtiques)\|norma]], que s'anomena '''''norma euclidiana''''': : <math>\lVert \mathbf u\rVert=\sqrt {\langle\mathbf u,\mathbf u\rangle}</math> i que també permet introduir la noció d'[[angle]]: l'angle geomètric entre dos vectors '''u''', '''v''' no nuls, és un valor real <math>\theta</math> comprès entre 0 i π, tal que: : <math>\cos\theta=\frac {\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle}{\lVert\mathbf u\rVert\cdot \lVert\mathbf v\rVert}</math> Línia 35: : <math>\langle(x_1,x_2,...,x_n),(y_1,y_2,...,y_n)\rangle=x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n,</math> és un espai vectorial euclidià de dimensió n. * L'[[espai vectorial]] dels [[polinomi]]s de grau igual o inferior a n: amb el [[producte escalar]] euclidià: : <math>\left \langle\sum ^{n}_{i=0}a_i X^i,\sum ^{n}_{i=o}b_iY^i\right \rangle=\sum _{i=0}^{n}a_ib_i</math> és un '''espai euclidià''' de dimensió <math>n+1</math>. amb el [[producte escalar]]: : <math>\langle P,Q\rangle=\int _0^1P(t)Q(t)dt</math> és també un '''espai euclidià''' amb una [[Norma (matemàtiques)\|norma]] diferent. Línia 45: == Propietats dels espais euclidians == * En tot '''espai euclidià''', es pot definir una [[Base (àlgebra)\|base ortonormal]]. Més concretament, si <math>(u_1,u_2,...,u_n)\,</math> és una base de <math>\mathbf E</math>, existeix una base <math>(v_1,v_2,...,v_n)\,</math> ortonormal, tal que per a tot <math>k</math> entre 1 i ''n'', es compleix que: : <math>\langle u_1,u_2,...,u_k \rangle = \langle v_1,v_2,...,v_k \rangle\,</math>. onen què s'entén per <math>\langle u_1,u_2,...,u_k \rangle\,</math> la varietat lineal engendrada per aquells <math>k</math> elements de la base. * Tot '''espai vectorial euclidià''' de ~~dimensio~~dimensió <math>n</math> és [[isomorfisme\|isomorf]] a <math>\mathbb R^n</math>. * Tot '''espai vectorial euclidià''' és complet. És, per tant, un cas particular d'[[espai de Banach]]. * Dos vectors amb [[producte escalar]] nul, es diuen '''''ortogonals'''''. En tot [[espai vectorial\|subespai vectorial]] <math>\mathbf F</math> d'un '''espai euclidià''' <math>\mathbf E</math> es pot associar un únic subespai <math>\mathbf {F}^{\bot}</math> format per tots els vectors ortogonals a tots els ~~vector~~vectors de <math>\mathbf F</math>, que és el seu '''ortogonal'''. * Si <math>x\,</math> és un vector de <math>\mathbf E</math>, l'aplicació [[producte escalar]] per <math>x\,</math>,<math>s_x :y\mapsto <x,y></math> és una forma lineal. L'aplicació que associa <math>x\,</math> a <math>s_x\,</math> és un [[isomorfisme]] de l'espai vectorial <math>\mathbf E</math> en el seu [[espai dual\|dual]] <math>\mathbf E^</math>. Si <math>f\,</math> és un [[endomorfisme]] de <math>\mathbf E</math>, existeix un únic [[endomorfisme]], que s'escriurà per <math>f^\,</math> i anomenat '''''adjunt de <math>f\,</math>''''', tal que: : <math>\forall x,y \in \mathbf E, <f(x),y>=<x,f^(y)></math> Es defineix les nocions d''''endomorfisme simètric''' si <math>f=f^\,</math>, i '''endomorfisme antisimètric''' si <math>f=-f^\,</math>.

Espai euclidià: diferència entre les revisions