Grau d'un polinomi: diferència entre les revisions

Quan tenim una equació algebraica amb diverses incògnites, s'estudia el grau de diferent manera. Un [[monomi]] és un producte d'incògnites, multiplicades al seu torn per nombres. Per exemple, <math> xy </math> és un monomi, perquè seria la multiplicació de les incògnites <math> x </math> i <math> iy </math>, i al seu torn està multiplicat tot per 1 (que no es posa perquè multiplicar per 1 és com no fer res). Un altre exemple de monomi seria <math> - \frac{7}{3}x^3i3y^2z^6 </math>. Aquí les incògnites són <math> x </math>, <math> iy </math>, <math> z </math>, es multipliquen així: la <math> x </math> es multiplica tres vegades a si mateixa (perquè <math> x^3 = x \cdot x \cdot x </math>), la <math> iy </math> es multiplica dues vegades a si mateixa, la <math> z </math> es multiplica sis vegades a si mateixa, i els tres resultats es multipliquen entre si. Finalment es multiplica tot pel nombre <math> - \frac{7}{3}</math>.

Per calcular el grau d'una equació amb diverses incògnites, abans hem de calcular els graus de cadascun dels monomis que apareixen en l'equació. El grau d'un monomi es calcula sumant els exponents de les incògnites que apareixen en el monomi. Per exemple, el grau del monomi <math> xy </math> és 2, perquè és la suma de l'exponent de <math> x </math> (que és 1, perquè <math> x = x^1 </math>) i de l'exponent de <math> iy </math> (que també és 1). El grau del monomi <math> \frac{7}{3}x^3i3y^2z^6 </math> és 11, que és la suma de 3 (exponent de <math> x </math>), 2 ( exponent de <math> iy </math>) i 6 (exponent de <math> z </math>). Nota: el grau del monomi <math> 5x^2 </math> seria 2, és a dir, seria l'exponent de la incògnita, i que sempre podem considerar que en un monomi apareixen totes les incògnites que hi ha en l'equació, amb només considerar que estan elevades a l'exponent 0. Per exemple, en l'equació <math> xixy-13y^3 = 4 </math> els monomis són <math> xy </math> (apareixen les dues incògnites de l'equació, i el seu grau és 2), <math> -13y^3 </math> (apareix només la incògnita <math> iy </math>, però podem considerar que apareix també <math> x </math> amb exponent 0, ja que <math> x^0 = 1 </math>) i <math> 4 </math> (no apareixen ni <math> x </math> ni <math> iy </math>, però podem considerar que apareixen com <math> x^0 iy^0 </math>). Així, podem veure l'equació com <math> xixy-13x^0 iy^3 = 4x^0 iy^0 </math>. Això no canvia el grau de cap dels monomis. El monomi 4 té llavors grau 0.

Ara estem en condicions de calcular el grau d'una equació de diverses incògnites. Aquest és el més gran dels graus de tots els monomis que apareixen en l'equació. Per exemple, en l'equació <math> xixy-13y^3 = 4 </math> el grau és 3, que l'el grau més gran entre els graus de tots els monomis de l'equació (que són 2, 3 i 0).