Rotació (matemàtiques): diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Cap resum de modificació |
Cap resum de modificació |
||
Línia 1:
{{polisèmia|rotació}}
[[Fitxer:Rotation illustration2.svg|right|thumb|Una rotació en dues dimensions al voltant d'un punt
En [[geometria]] i [[àlgebra lineal]], una '''rotació''' és una [[transformació (matemàtiques)|transformació]] al pla o a l'espai que descriu el moviment d'un [[sòlid rígid]] al voltant d'un eix. En una rotació pura els punts de l'eix són fixes, dit d'una altra manera, la posició dels punts de l'eix queden en el mateix lloc un cop transformats. Una rotació es diferencia d'una [[translació (matemàtiques)|translació]], la qual desplaça tots els punts del sòlid per igual i no manté punts fixos, i d'una [[reflexió (matemàtiques)|reflexió]], que tomben el sòlid creant-ne una imatge especular. Les tres transformacions descrites deixen inalterades les distàncies entre parelles de punts; són [[isometria|isometries]].
▲[[Fitxer:Rotation illustration2.svg|right|thumb|Una rotació en dues dimensions al voltant d'un punt <math>O.</math>]]
==Dues dimensions==
Línia 10:
En el primer punt de vista, la rotació del cos s'escriu com la transformació de cada punt <math> (x,y) </math> un angle <math>\theta</math> obtenint unes noves coordenades, <math> (x',y') </math>:
:<math> \begin{
\begin{
és a dir,
:<math>x'=x\cos\theta-y\sin\theta\,</math>
Línia 20:
En el segon punt de vista, la rotació del cos s'escriu com la transformcació de cada punt <math> (x,y) </math> un angle <math>\theta</math> obtenint unes noves coordenades, <math> (x',y') </math>:
:<math> \begin{
\begin{
és a dir,
:<math>x'=x\cos\theta+y\sin\theta\,</math>
:<math>y'=-x\sin\theta+y\cos\theta\,</math>
En
===Pla complex===
Un [[nombre complex]] es pot entendre com un vector de dues dimensions en el pla complex, centrat a l'origen. Sigui {{nowrap|1= ''z'' = ''a'' + ''ib'' un nombre complex, La seva [[part real]] ''a'' és representada per la coordenada ''x'' i la seva part imaginària ''b'' és representada per la coordenada ''y''.
Llavors a ''z'' se li pot aplicar una rotació d'
{|
| <math> e^{i \theta} z \;</math> ||<math> = (\cos \theta + i \sin \theta) (a + i b) \;</math>
Linha 50 ⟶ 48:
|}
Es pot comprovar la total correspondència amb la rotació descrita a
Donat que la multiplicació de nombres complexos és [[commutativitat|commutativa]], la rotació en 2 dimensions és commutativa, la qual cosa no és certa per a més de dues dimensions.
Linha 70 ⟶ 68:
===Matrius ortogonals===
El conjunt de totes les [[matrius de rotació]] ''M''('''v''',θ)
Dit de manera més general, la rotació de coordenades en qualsevol dimensió es representa per [[matriu ortogonal|matrius ortogonals]]. El conjunt de totes les matrius ortogonals de
Les matrius ortogonals contenen elements reals. Les matrius anàlogues de valors complexos són les [[matriu unitària|matrius unitàries]]. El conjunt de totes les matrius unitàries en una dimensió ''n'' forma un [[grup unitari]] de grau ''n'', U(''n''); i el subgrup de U(''n'') que representa rotacions pròpies forma un [[grup unitari especial]] de grau ''n'', SU(''n''). Els elements de SU(2) són emprats en [[mecànica quàntica]] per rotar el [[spin]].
===Relativitat===
En [[relativitat especial]] una rotació de coordenades de Lorentz que rota l'eix temporal s'anomena un ''boost'', i l'[[interval (matemàtiques)|interval]] entre
==Vegeu també==
* [[Orientació (geometria)]]
* [[Matriu de rotacions]]
Linha 89 ⟶ 86:
* [[Spin|Spin (física)]]
* [[Angles d'Euler]]
* [[Fórmula de rotacions de Rodrigues
{{ORDENA:Rotacio
[[Categoria:Geometria]]
| |||