Obre el menú principal

Canvis

cap resum d'edició
{{polisèmia|rotació}}
[[Fitxer:Rotation illustration2.svg|right|thumb|Una rotació en dues dimensions al voltant d'un punt <math>''O.</math>'']]
En [[geometria]] i [[àlgebra lineal]], una '''rotació''' és una [[transformació (matemàtiques)|transformació]] al pla o a l'espai que descriu el moviment d'un [[sòlid rígid]] al voltant d'un eix. En una rotació pura els punts de l'eix són fixes, dit d'una altra manera, la posició dels punts de l'eix queden en el mateix lloc un cop transformats. Una rotació es diferencia d'una [[translació (matemàtiques)|translació]], la qual desplaça tots els punts del sòlid per igual i no manté punts fixos, i d'una [[reflexió (matemàtiques)|reflexió]], que tomben el sòlid creant-ne una imatge especular. Les tres transformacions descrites deixen inalterades les distàncies entre parelles de punts; són [[isometria|isometries]].
[[Fitxer:Rotation illustration2.svg|right|thumb|Una rotació en dues dimensions al voltant d'un punt <math>O.</math>]]
 
==Dues dimensions==
En el primer punt de vista, la rotació del cos s'escriu com la transformació de cada punt <math> (x,y) </math> un angle <math>\theta</math> obtenint unes noves coordenades, <math> (x',y') </math>:
 
:<math> \begin{bmatrixpmatrix} x' \\ y' \end{bmatrixpmatrix} =
\begin{bmatrixpmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ +\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrixpmatrix} \begin{bmatrixpmatrix} x \\ y \end{bmatrixpmatrix}. </math>
 
és a dir,
o
 
:<math>x'=x\cos\theta-y\sin\theta\,</math>
En el segon punt de vista, la rotació del cos s'escriu com la transformcació de cada punt <math> (x,y) </math> un angle <math>\theta</math> obtenint unes noves coordenades, <math> (x',y') </math>:
 
:<math> \begin{bmatrixpmatrix} x' \\ y' \end{bmatrixpmatrix} =
\begin{bmatrixpmatrix} \cos \theta & +\sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrixpmatrix} \begin{bmatrixpmatrix} x \\ y \end{bmatrixpmatrix}. </math>
 
és a dir,
o
 
:<math>x'=x\cos\theta+y\sin\theta\,</math>
:<math>y'=-x\sin\theta+y\cos\theta\,</math>
 
En coseqüènciaconseqüència la magnitud del [[Vector (Matemàtiques)|vector]] (''x'',&nbsp;''y'') és igual que la magnitud del vector (''x''&prime;,&nbsp;''y''&prime;).
 
===Pla complex===
 
Un [[nombre complex]] es pot entendre com un vector de dues dimensions en el pla complex, centrat a l'origen. Sigui {{nowrap|1= ''z'' = ''a'' + ''ib'' un nombre complex, La seva [[part real]] ''a'' és representada per la coordenada ''x'' i la seva part imaginària ''b'' és representada per la coordenada ''y''.
:<math> z = a + ib \,</math>
Un nombre complex. La seva [[part real]] és representada per la coordenada x i la seva part imaginària és representada per la coordenada y.
 
Llavors a ''z'' se li pot aplicar una rotació d'un angle <math>\theta</math> multiplicant-lo prèviament per <math> e^{i \theta} </math> (vegeuseguint la [[Fórmulafórmula d'Euler]]).
{|
| &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math> e^{i \theta} z \;</math> ||<math> = (\cos \theta + i \sin \theta) (a + i b) \;</math>
|}
 
Es pot comprovar la total correspondència amb la rotació descrita a §l'apartat 1anterior.
 
Donat que la multiplicació de nombres complexos és [[commutativitat|commutativa]], la rotació en 2 dimensions és commutativa, la qual cosa no és certa per a més de dues dimensions.
===Matrius ortogonals===
 
El conjunt de totes les [[matrius de rotació]] ''M''('''v''',θ)'' descrites més amuntanteriorment junt amb l'operació de [[multiplicació de matrius]] és anomenat ''[[grup de rotacions]]'': [[SO(3)]].
 
Dit de manera més general, la rotació de coordenades en qualsevol dimensió es representa per [[matriu ortogonal|matrius ortogonals]]. El conjunt de totes les matrius ortogonals de l{{'}}la ''n''-èssimaèsima dimensió que descriu [[rotació pròpia|rotacions pròpies]] ([[determinant (matemàtiques)|determinant]] = +1), junt amb l'operació de multiplicació de matrius, forma el [[grup de rotacions|grup especial de rotacions'': SO(''n'')]]. Vegeu també [[SO(4)]] (grup de rotacions quadridimensionals).
 
Les matrius ortogonals contenen elements reals. Les matrius anàlogues de valors complexos són les [[matriu unitària|matrius unitàries]]. El conjunt de totes les matrius unitàries en una dimensió ''n'' forma un [[grup unitari]] de grau ''n'', U(''n''); i el subgrup de U(''n'') que representa rotacions pròpies forma un [[grup unitari especial]] de grau ''n'', SU(''n''). Els elements de SU(2) són emprats en [[mecànica quàntica]] per rotar el [[spin]].
 
===Relativitat===
 
En [[relativitat especial]] una rotació de coordenades de Lorentz que rota l'eix temporal s'anomena un ''boost'', i l'[[interval (matemàtiques)|interval]] entre qualssevol dos punts qualssevol es manté [[invariant]], anàlogament a la invariància de la distància entre dos punts en rotacions 3D. Les rotacions de coordenades de Lorentz que no roten l'eix temporal són rotacions espacials tridimensionals. Vegeu: [[Transformació de Lorentz]], [[Grup de Lorentz]].
 
==Vegeu també==
<div style="-moz-column-count:2; column-count:2;">
* [[Orientació (geometria)]]
* [[Matriu de rotacions]]
* [[Spin|Spin (física)]]
* [[Angles d'Euler]]
* [[Fórmula de rotacions de Rodrigues']]
</div>
 
 
{{ORDENA:Rotacio Matematiques}} <!--ORDENA generat per bot-->
[[Categoria:Geometria]]