Grup compacte: diferència entre les revisions

En [[matemàtiques]], un '''grup compacte''' (topològic, sovint sobreentès) el  és un '''[[Grup (matemàtiques)|grup''' topològic]] la '''[[topologia''']] del qual és compacta'''compacta.''' Els grups compactes són una generalització natural dedels [[Grup finit|grups finits]] amb la [[topologia discreta]]. <span class="cx-segment" data-segmentid="21"></span>

D'ara endavant, assumimassumirem que tots els grups són [[Espai de Hausdorff|espais de Hausdorff]].

Els [[Grup de Lie|grups de Lie]] formen una classe típica de grups topològics, i els [[Grup de Lie|grups de Lie]] compactes tenen una teoria particularment ben desenvolupada. Els exemples bàsics de grups de Lie compactes inclouen

* El [[grup dedel cercle]] '''T''' i el [[Tor (geometria)|grup del tor]] Tn,

* Els [[Grup ortogonal|grups ortogonals]] O(n), el [[Grup ortogonal|grup ortogonal especial]] SO(n) i el [[grup d'espín]] Spin(n),

* El [[Grup unitari especial|grup unitari]] U(n) i el [[grup unitari especial]] SU(n),

* El [[grup simplèctic]] Sp(n),

* Les formes compactes dels grups de Lie excepcionals: G2G₂, F4F₄, E6E₆, E7E₇, i E8,E₈.

El [[teorema de classificació]] dels grups de Lie compactes declara que aquesta llista d'exemples cobreix, pel que fa a extensions i cobertures finites,  tots els casos (incloent-hi algunes redundàncies).

Sigui G un grup de Lie compacte, i G0G₀ la seva component d'identitat amb la qual és [[Conjunt connex|connectat]], el [[Grup quocient|grup deede quocient]] G/G0G₀ és el [[Grup quocient|grup de]] components π0π₀(G) que ha de ser finit car G és compacte. Per tant, tenim una extensió finita

Ara cada grup de Lie compacte i connex G0G₀ té una cobertura finita

on <math>A\sub Z(\tilde{G}_0)</math> és un [[Grupgrup abelià| grup abeliafinit]] finit i G<math>\tilde{G_0}</math> és el producte d'un torus i un grup de Lie compacte senzillamentsimplement connex ''K'':<math>A\sub Z(\tilde{G}_0)</math><math>\tilde{G_0}</math>

Finalment, cada grup de Lie K, compacte i simplement connex'','' és el producte de grups de Lie simples, compactes i simplement connexos, KiK_i cadascú del qual és [[Isomorfisme de grups|isomorf]] exactament a un d'aquests casos:

Tots els grup compactes tenen una mesura de Haar, que és invariant respecte a [[Translació|translacions]] esquerra i dreta <ref>{{Plantilla:Citation|last = Weil|first = André|author-link = André Weil|title = L'intégration dans les groupes topologiques et ses applications|series = Actualités Scientifiques et Industrielles|publisher = Hermann|year = 1940|place = Paris|volume = 869}}</ref>. En altres paraules, aquests grups són [[Mesura de Haar|unimodulars.]] La mesura de Haar és fàcilment normalitzada per a esdevenir una [[mesura de probabilitat]], anàlega a dθ/2π al cercle.

La teoria de representació dedels grups compactes va ser fundada pel  teorema de Peter–Weyl <ref>{{Plantilla:Citation|first1 = F.|last1 = Peter|first2 = H.|last2 = Weyl|title = Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe|journal = Math. Ann.|volume = 97|year = 1927|pages = 737–755|doi = 10.1007/BF01447892}}</ref>. [[Hermann Weyl]] la va completar detallant la teoria de caràcter dels grups de Lie connexos compactes, basats en la teoria del tor màxim torus. La fórmula de caràcter de Weyl resultant ha estatsestat un dels resultats influents de les matemàtiques de segle XX.