Diferència entre revisions de la pàgina «Funció generatriu»

m
Canvis menors, neteja AWB
m (Nova clau d'ordenació a Categoria:Funcions: "Generatriu" usant HotCat)
m (Canvis menors, neteja AWB)
{{2L|data=febrer de 2013}}
En [[matemàtiques]], una ''' funció generadora ''' o ''' funció generatriu ''' és una [[sèrie formal de potències]] els coeficients codifiquen informació sobre una [[Successió matemàtica|successió]] '' a '' <sub> '' n '' </sub> l'índex corre sobre els [[nombres naturals|enters no negatius]].
 
Hi ha diversos tipus de funcions generadores: ''' funcions generadores ordinàries ''', ''' funcions generadores exponencials ''', la ''' [[sèrie de Lambert]] ''', la ''' [[sèrie de Bell]] ''' i la ''' [[sèrie de Dirichlet]] ''', de les quals baix s'ofereixen definicions i exemples. Cada successió té una funció generadora de cert tipus. El tipus de funció generadora que és apropiada en un context donat depèn de la naturalesa de la successió i els detalls del problema que s'analitza.
 
Les funcions generadores són [[forma tancada (matemàtica)|expressions tancades]] en un argument formal '' x ''. De vegades, una funció generadora «s'avalua» en un valor específic '' x = a '' però cal tenir en compte que les funcions generadores són sèries formals de potències, pel que no es considera ni s'analitza el problema de la [[convergència (matemàtiques)|convergència]] en tots els valors de '' x ''.
 
Pel mateix és important observar que les funcions generadores '' no '' són realment [[funció matemàtica|funcions]] en el sentit usual de ser [[mapeig]]s entre un [[domini de definició|domini]] i un [[codomini]], el nom és únicament el resultat del desenvolupament històric del seu estudi.
{{Cita|''Una funció generadora és una corda d'estendre en la qual pengem una successió de nombres per mostrar-la''|[[Herbert Wilf]]<ref>{{ref-llibre|cognom = Wilf|nom = Herbert|enllaçautor = Herbert Wilf|edició =2a ed.|títol = generatingfunctionology|any = 1994| editorial = A. K. Peters|isbn = 978-1-56881-279-3}}</ref>}}
 
 
== Funció generadora ordinària ==
{{Equació|<math> \sum_{n = 0}^\infty (3a_n+2) x^n = 3 \sum_{k = 0}^\infty a_nx^n+2 \sum_{k = 0}^\infty x^n = 3A (x)+2 (1+x+x^2+x^3+\cdots) = 3A (x)+\frac{2}{1-x}</math>.}}
 
Al final, es va aplicar la fórmula per sumar una sèrie geomètrica:<ref> Com es va esmentar en la introducció, realment no importa el radi de convergència d'una sèrie, ja que només es busca manipular '' formalment '' (és a dir, «mecànicament» ) les expressions. En general és suficient que una sèrie sigui convergent en un [[disc (matemàtica)|disc]] [[conjunt obert|obert]] (no determinat) al voltant de zero per poder usar-la. En l'exemple, la sèrie geomètrica és convergent en el disc -1 <'' x '' <1. </ref>
{{Equació|<math> 1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots = \frac{1}{1-x}</math>.}}
 
{{Equació|<math> C (x) = \frac{A (x)}{(1-x^{10})^3}</math>}}
per a un '' A '' ('' x '') on:
{{Equació |<math>\begin{array}{rcl}A(x)&=&A_1(x)\cdot A_2(x)\cdot A_3(x) = \left(\frac{1-x^{10}}{1-x}\right) \left(\frac{1-x^{10}}{1-x^2}\right) \left(\frac{1-x^{10}}{1-x^5}\right)\\ \ &=& x^{22}+x^{21}+2x^{20}+2x^{19}+3x^{18}+4x^{17}+5x^{16}+6x^{15}+7x^{14}+8x^{13}+7x^{12}+8x^{11}\\ \ &\ &\quad+7x^{10}+8x^9+7x^8+6x^7+5x^6+4x^5+3x^4+2x^3+2x^2+x+1 \end{array}</math>}}
 
Finalment, desenvolupant la funció generadora
: <math> \sum_{n \in \mathbf{N}}\tbinom{n+2}2 X^n ={1 \over (1-X)^3}. </math>
Atès que <math> \tbinom{n+2}2 = \frac12{(n+1) (n+2)}= \frac12 (n^2+3n+2) </math>, es pot trobar la funció generadora ordinària per a la successió 0,1,4,9,16, ... de [[quadrat (aritmètica)|nombres quadrats]] per combinació lineal de les successions precedents;
 
 
=== Funció generadora exponencial ===
== Altres funcions generadores ==
Exemples de [[successió polinòmica|successions polinòmiques]] generades per funcions generadores complexes són:
* [[Sèrie de Lambert]]
* [[Sèrie de Bell]]
* [[sèrie de Dirichlet]]
 
== Vegeu també ==
 
* [[Herbert Wilf|Herbert S. Wilf]], '' [http://www.math.upenn.edu/% 7Ewilf/DownldGF.html Generatingfunctionology (Second Edition)] '' (1994) Academic Press. ISBN 0-12-751956-4.
* [[Donald Knuth|Donald E. Knuth]], '' The Art of Computer Programming, Volume 1 Fonamental Algorithms (Third Edition) '' Addison-Wesley. ISBN 0-201-89683-4. Section 1.2.9: Generating Functions, pp.87-96&nbsp;87–96.
* [[Ronald Graham|Ronald L. Graham]], [[Donald Knuth|Donald E. Knuth]], i [[Oren Patashnik]], '' [[Concreteu Mathematics|Concrete Mathematics. A foundation for computer science]] (Second Edition) '' Addison-Wesley. ISBN 0-201-55802-5. Chapter 7: Generating Functions, pàg. 320-380.
* Gabriel Poveda Ramos, '' Funcions generatrius '', Editorial de la Universitat Pontifícia Bolivariana, ISBN 958-696-539-2, 90 pp., Medellín (Colòmbia) [[2006]].
* [http://demonstrations.wolfram.com/GeneratingFunctions/"Generating Functions"] per Ed Pegg, Jr, en el lloc web The Wolfram Demonstrations Project, 2007. (Consultat l'1 d'agost de 2008)
 
<!--ORDENA generat per bot-->
 
{{ORDENA:Funcio Generatriu}} <!--ORDENA generat per bot-->
 
[[Categoria:Combinatòria]]
[[Categoria:Funcions|Generatriu]]
322.795

modificacions