Teoria de conjunts: diferència entre les revisions

Contingut suprimit Contingut afegit
m Robot treu enllaç igual al text enllaçat
mCap resum de modificació
Línia 14:
 
=== La paradoxa de Russell ===
 
Aquesta definició és problemàtica des del punt de vista formal, ja que, en definir un conjunt per una propietat, s'arriba a la [[paradoxa de Russell]] definint ''A'' = {''x''|''x'' ∉ ''x''} (es llegeix ''A'' està format per tots els elements ''x'' tals que ''x'' no pertany a ''x''). Veiem que, si ''A'' pertany a ''A'', s'ha de complir que ''A'' no pertany a ''A'', i que si ''A'' no pertany a ''A'', s'ha de complir que ''A'' pertany a ''A'': una propietat i la seva negació s'han de complir al mateix temps. Això va portar a considerar desenvolupaments axiomàtics com els de [[Ernst Zermelo|Zermelo]]-[[Adolf Fraenkel|Fraenkel]] i [[john von Neumann|von Neumann]], que eviten aquesta paradoxa o contradicció de la teoria.
 
Linha 171 ⟶ 170:
L'[[axioma d'elecció]] va aparèixer explícitament en una publicació d'[[Ernst Zermelo]] del 1904; és a dir, abans de l'aparició de la seva axiomatització de la teoria dels conjunts. L'axioma d'elecció és, en efecte, d'una naturalesa diferent dels altres axiomes de la teories dels conjunts enunciats ulteriorment, i que resulten per a la majoria d'una anàlisi detallada de l'[[esquema d'axiomes d'especificació]]. En efecte, l'axioma d'elecció no dóna cap definició explícita del conjunt construït (conjunt d'elecció o funció d'elecció, segons les versions). D'altra banda, al seu article del 1904, Zermelo demostra amb l'axioma d'elecció el seu famós teorema que enuncia que tot conjunt pot ser ben ordenat, proposició que no té res d'intuïtivament evident. L'axioma d'elecció va ser utilitzat tàcitament almenys per [[Georg Cantor]], però la publicació de Zermelo posa en marxa debats apassionats amb els matemàtics de l'època.<ref>On trouve dans les ''leçons sur la théorie des fonctions'' d'[[Emile Borel]] Gauthiers-Villars 4ème édition 1950, un échange de lettres à ce sujet entre [[René Baire]], [[Jacques Hadamard]], [[Henri Lebesgue]] et Borel lui-même; les lettres apparaissent dans la note IV introduite à partir de la seconde édition).</ref>
 
L'axioma d'elecció està, d'altra banda, molt vinculat a l'infinit matemàtic; en efecte, l'axioma d'elecció és ''intuïtivament'' verdader per a un nombre finit d'eleccions, i d'altra banda demostrable, en aquest cas, a partir dels altres axiomes de la teoria dels conjunts. Ara bé, al voltant del 1904, entrem de ple en la controvèrsia posada en marxa pel descobriment de les paradoxes.<ref>le [[paradoxe de Russell]] et d'autres, est paru dans les ''principles of mathematics'' du dit [[Bertrand Russell|Russell]] en 1903, le [[paradoxe de Richard]] est publié en 1905 ...</ref> Llavors, diverses concepcions de l'infinit matemàtic s'enfronten. Això arribarà, fins i tot, a qüestionar radicalment els fonaments de les matemàtiques per part de [[Luitzen Egbertus Jan Brouwer]], fundador de l'[[intuïcionisme]], que descarta el [[principi del terç exclòs]], que se situa força més amunt de l'axioma d'elecció. Tanmateix, en aquell temps, certs matemàtics que no van tan lluny i accepten certes formes de raonament no constructiu, desconfien de l'axioma d'elecció. [[Emile Borel]] escriu el 1950:<ref>Préface de la 4ème édition des ''leçons sur la théorie des fonctions''</ref> És ja un resultat important obtingut pels adversaris de l'axioma de Zermelo que tots els que admeten aquest axioma prenen la cura, quan obtenen un teorema nou, d'especificar si la demostració d'aquest teorema exigeix o no la utilització de l'axioma de Zermelo. Aquest axioma ha creat així una branca separada de les matemàtiques; la importància i l'interès d'aquesta branca decidiran la seva sort. En tot cas, es pot dir que avui, vista justament la seva utilització en branques importants de les matemàtiques, l'axioma d'elecció és àmpliament acceptat.
 
Això encara més des que se sap, a partir dels treballs de Gödel,<ref name="constructibles">[[Kurt Gödel]]. ''The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory'', Princeton University Press.ISBN 0-691-07927-7.</ref> que admetre l'axioma d'elecció ja no és «arriscat», en el sentit que demostra que si la teoria ZFC fos incoherent, la teoria ZF també ho seria (vegeu la secció sobre els resultats d'independència en teoria dels conjunts).
Linha 177 ⟶ 176:
D'altra banda, s'han identificat restriccions de l'axioma d'elecció, com l'axioma d'elecció enumerable (que permet, per exemple, demostrar que una reunió numerable de conjunts numerables és numerable); aquest mateix és conseqüència de l'axioma d'elecció depenent (que permet, per exemple, demostrar l'existència d'una successió infinita decreixent per a una [[relació ben fonamentada|relació no ben fonamentada]]). Així, [[Robert M. Solovay|Robert Solovay]] va publicar el 1970 la coherència de la teoria ZF + l'axioma d'elecció depenent + tot subconjunt dels reals és [[mesura de Lebesgue|Lebesgue-mesurable]], teoria que contradiu l'axioma d'elecció en tota la seva generalitat, relativament a la la teoria ZF + existeix un cardinal inaccessible (un reforç de la teoria ZF que permet demostrar la coherència de ZF).<ref>Robert M. Solovay ''A model of set theory in which every set of reals is Lebesgue mesurable'', Annals of Math. 92, 1970, pp 1-56.</ref> Tanmateix, l'axioma d'elecció enumerable és insuficient en geometria algebraica, ja que el tractament dels cossos algebraicament tancats requereix el [[lema de Zorn]], que és equivalent a l'axioma d'elecció; per tant, el teorema segons el qual tot cos pot ser submergit en un cos algebraicament tancat es basa en l'axioma d'elecció general.<ref>Ouvrage collectif ''Penser les mathématiques'' (séminaire de l'ENS) Editions du Seuil, Paris 1982 ISBN 2 02 006061 2 note 7 p.35</ref>
 
Un dels millors exemples de les rareses a què condueix l'axioma d'elecció és certament la [[paradoxa de Banach-Tarski]], publicada el 1924<ref>[[Stefan Banach]] and [[Alfred Tarski]], [http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm6/fm6127.pdf ''Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes''], [[Fundamenta Mathematicae]], '''6''', (1924), 244–277. [http://www.emis.de/cgi-bin/JFM-item?50.0370.02 Review at JFM]</ref> que, fent servir l'axioma d'elecció, afirma que es pot tallar una esfera en un nombre finit de trossos, desplaçar-los per una successió de moviment rígids ([[translació (geometria)|translació]] i [[Rotació (matemàtiques) |rotació]]), tot permetent a certes peces travessar-ne d'altres i reunir-los altre cop formant dues còpies de l'esfera original. Això sembla contradir la intuïció física que es té de la noció de volum, però la paradoxa de Banach-Tarski fa intervenir parts no mesurables.
 
== Axiomes de la teoria de conjunts ==
Linha 190 ⟶ 189:
 
# [[Axioma d'extensió]]: si dos conjunts tenen els mateixos elements, llavors són idèntics.
# [[Axioma del conjunt buit]]: existeix un conjunt sense cap element. Es nota <math>\varnothing</math> (o menys freqüentment <math>\{\}</math>). Parlant en propietat, Aquest axioma no forma part de l'axiomatització de ZF, pel cap baix en la seva versió actual, formalitzada en càlcul de predicats de primer ordre. Es pot deduir d'una propietat genèrica del càlcul de predicats, que és que un model d'una teoria és no buit. En el cas de la teoria dels conjunts, això significa dir que existeix almenys un conjunt, i aquesta propietat no requereix cap axioma específic: es demostra en lògica pura. D'aquí es dedueix, per l'esquema d'axiomes de comprensió, l'existència del conjunt buit. Tanmateix, aquest axioma es troba en variants de la teoria dels conjunts, o en presentacions més antigues o semiformals de la teoria ZF, com a la de Paul Halmos.<ref name="halmos">[[Paul Richard Halmos|Halmos, P.R.]], ''Naive Set Theory'', D. Van Nostrand Company, Princeton, NJ, 1960. Reprinted, Springer-Verlag, New York, NY, 1974, ISBN 0-387-90092-6. trad. Française ''Introduction à la théorie des ensembles, Gauthier-Villars Paris 1965.</ref>
# [[Axioma d'aparellament]]: si ''x'' i ''y'' són dos conjunts; llavors, existeix un conjunt que conté ''x'' i ''y'' i només aquests com a elements. Aquest conjunt es nota <math>\{x,y\}</math>Cal observar que ''x'' i ''y'' no són necessàriament diferents. Aquest axioma és conseqüència de l'[[esquema de substitució]], però no de l'[[esquema de comprensió]]; també se'l pot ometre en la teoria ZF, però és indispensable en la teoria Z.
# [[Axioma de reunió]]: per a tot conjunt ''X'', existeix un conjunt ''R'' els elements del qual són precisament els elements dels elements de ''X'' i només aquests.
Linha 198 ⟶ 197:
# [[Esquema d'axiomes de substitució]]: per a tot conjunt ''A'' i per a tota relació funcional ''P'', formalment definida com una proposició <math>P(x,y)</math> tal que <math>P(x,y)</math> i <math>P(x,z)</math> impliquen que <math>y = z</math>, existeix un conjunt que conté precisament les imatges per a ''P'' dels elements del conjunt d'origen ''A''.
# [[Axioma de regularitat]]: tot conjunt ''X'' no buit conté un element ''y'' tal que ''X'' i ''y'' són conjunts disjunts (que no tenen cap element en comú), cosa que es nota <math>X \cap y = \varnothing</math>. Aquest axioma s'afegeix molt sovint a Z o ZF. Es pot construir bastant fàcilment com a subclasse d'un model qualsevol de ZF, un model de ZF que verifica l'axioma de regularitat. Els conjunts útils per al desenvolupament de les matemàtiques usuals pertanyen a aquesta subclasse, i per tant té poca importància afegir o no aquest axioma a la teoria per a aquests desenvolupaments. L'axioma de regularitat, per exemple, no es menciona en el llibre de Halmos,<ref name="halmos"/> l'objectiu del qual és el de presentar els aspectes de la teoria dels conjunts útils per al matemàtic no especialista d'aquest àmbit. L'axioma de regularitat, en canvi, és molt útil en l'àmbit especialitzat de la teoria de conjunts; permet jerarquitzar l'univers de conjunts, definir un rang ordinal... Per altra banda, s'han desenvolupat teories dels conjunts, extensions de ZF sense regularitat; aquestes teories introdueixen un axioma d'antiregularitat (n'existeixen diverses variants) que contradiu directament l'axioma de regularitat. L'antiregularitat és una idea bastant antiga (Dimitri Mirimanoff, 1917, [[Paul Finsler]], 1926), però aquestes teories han conegut una recuperació d'interès per la seva relació amb la [[informàtica teòrica]].<ref>voir le livre de Peter Aczel, ''Non-Well-Founded Sets'', CSLI Lecture Notes, Vol.14, CSLI Publications, Stanford, California, 1988.</ref>
# [[Axioma d'elecció]]: (versió de Zermelo) donat un conjunt ''X'' de conjunts no buits mútuament disjunts, existeix un conjunt ''y'' (el conjunt d'd’''elecció'' per ''X'') que conté exactament un element per a cada membre de ''X''.
L'axioma d'elecció continua sent discutit per una minoria de matemàtics. N'hi ha formes febles, com l'axioma d'elecció dependent, molt útil per al desenvolupament de l'anàlisi real.
 
== Aplicacions ==
Gairebé tots els conceptes matemàtics es defineixen avui en dia formalment en termes de conjunts i conceptes teòrics de teoria de conjunts. Per exemple, estructures matemàtiques tan diverses com [[graf (matemàtiques)|grafs]]s, [[varietat (matemàtiques)|varietats (matemàtiques)]], [[anell (matemàtiques)|anells (matemàtics)]], i [[espai vectorial|espais vectorials]] es defineixen completament com a conjunts que tenen diverses propietats (axiomes). La [[relació d'equivalència]] i les [[relació d'ordre|relacions d'ordre]] són ubiqües en matemàtiques, i la teoria de [[relació (matemàtiques)|relacions]] es basa totalment en la teoria de conjunts.
 
La teoria de conjunt és també un sistema prometedor per a fonamentar la majoria de les matemàtiques. Des de la publicació del primer volum de [[Principia Mathematica (Russell-Whitehead)|''Principia Mathematica'']], s'ha afirmat que molts o fins i tot tots els teoremes matemàtics es poden demostrar fent servir un conjunt dissenyat de manera adequada d'axiomes amb la teoria de conjunts, augmentada amb moltes definicions, fent servir [[lògica de primer|lògica de primer ordre]] o de [[lògica de segon ordre|segon ordre]]. Per exemple, les propietats dels [[nombres naturals]] i dels [[nombres reals]] es poden obtenir dins de la teoria de conjunts, ja que cada sistema de nombres es pot identificar amb un conjunt de [[classe d'equivalència|classes d'equivalència]] sota una relació d'equivalència adequada el camp de la qual és algun [[conjunt infinit]].
 
La teoria de conjunts com a fonament per a l'[[anàlisi matemàtica]], la [[topologia]], l'[[àlgebra abstracta]], i les [[matemàtiques discretes]] és de la mateixa manera incontrovertida; els matemàtics accepten que (en principi) els teoremes en aquestes àrees poden ser deduïts de les definicions pertinents i els axiomes de la teoria de conjunts. S'han verificat formalment poques deduccions completes de teoremes matemàtics complexos a partir de la teoria de conjunts, tanmateix, perquè tals deduccions formals són sovint molt més llargues que el llenguatge natural amb el qual els matemàtics presenten habitualment les demostracions.
Linha 212 ⟶ 211:
 
== Referències ==
{{Referències|2}}
{{Commonscat}}
 
{{Referències|2}}
 
{{1000 Ciència}}
{{Autoritat}}