Arc (geometria): diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Robot inserta {{Commonscat}} que enllaça amb commons:category:Circle arcs |
|||
Línia 3:
En [[geometria euclidiana]], un '''arc''' és un segment tancat d'una [[corba]] en un pla bidimensional; per exemple, un arc circular és un segment de la [[circumferència]] d'un [[cercle]]. Si el segment d'arc ocupa un [[cercle màxim]] o una [[el·lipse màxima]], es considera un segment d'arc màxim.
Tot parell de punts diferents sobre una circumferència determina dos arcs. Si els dos punts no són l'un oposat de l'altre, llavors un d'aquests arcs, l{{'}}'''arc menor''', conté un angle menor de ''π'' [[radian]]s (180 graus), i l'altre arc, l{{'}}'''arc major''', conté un angle superior a ''π'' radians.
La longitud d'un arc d'un cercle amb radi <math>r</math> i angle <math>\theta\,\!</math> (mesurat en [[Radiant (angle)|radiants]]) respecte al centre del cercle és igual a <math>\theta r\,\!</math>. Això és perquè▼
== Arcs circulars ==
:<math>\frac{L}{\mathrm{circumferencia}}=\frac{\theta}{2\pi}.\,\!</math>▼
=== Longitud d'un arc de circumferència ===
▲La longitud d'un arc d'un cercle amb radi <math>r</math> i angle <math>\theta\,\!</math> (mesurat en [[Radiant (angle)|radiants]]) respecte al centre del cercle és igual a <math>\theta r\,\!</math>. Això és perquè
Si se substitueix "circumferència":
:<math>\frac{L}{2\pi r}=\frac{\theta}{2\pi},\,\!</math>
i s'aïlla la longitud de l'arc, <math>L</math>, s'obté
:<math>L=\theta r.\,\!</math>
Per a un angle <math>\alpha</math> mesurat en [[Grau sexagesimal|graus]], la mida en radiants ve donada per
:<math>\theta=\frac{\alpha}{180}\pi,\,\!</math>
i per tant la longitud de l'arc és
:<math>L=\frac{\alpha\pi r}{180}.\,\!</math>
Una manera pràctica de determinar la longitud d'un arc en una circumferència és dibuixar dues línies des dels extrems de l'arc fins al centre de la circumferència, mesurar l'angle que formen els dos segments que es troben al centre, i després resoldre per ''L'' la següent fórmula:
:mesura de l'[[angle]] en graus/360° = ''L''/Circumferència.
Per exemple, si la mesura de l'angle és de 60 graus, i la circumferència és de 24 cm, llavors
:<math>\frac{60}{360} = \frac{L}{24}</math>
:<math>360L=1440</math>
:<math>L = 4</math>.
Això és cert perquè la circumferència d'un cercle i els graus d'una circumferència, que sempre són 360, són directament proporcionals.
=== Àrea d'un sector d'arc ===
L'àrea del sector formar per un arc i el centre d'un cercle (delimitat per l'arc i els dos radis dibuixats als extrems de l'arc) és:
:<math>A=\frac{1}{2} r^2 \theta.</math>
L'àrea <math>A</math> té la mateixa proporció respecte al cercle que l'angle <math>\theta</math> té respecte a tot el cercle:
:<math>\frac{A}{\pi r^2}=\frac{\theta}{2\pi}.</math>
Podem cancel·lar <math>\pi</math> a ambdós costats:
:<math>\frac{A}{r^2}=\frac{\theta}{2}.</math>
Si multipliquem a ambdós costats per <math>r^2</math>, obtenim el resultat final:
:<math>A=\frac{1}{2} r^2 \theta.</math>
Emprant la conversió anterior, trobem que l'àrea del sector per a un angle central mesurant en graus és:
:<math>A=\frac{\alpha}{360} \pi r^2.</math>
=== Àrea d'un segment d'arc ===
L'àrea de la figura delimitada per l'arc i el segment que uneix els seus dos extrems és:
:<math>\frac{1}{2} r^2 (\theta - \sin{\theta}).</math>
Per obtenir l'àrea del [[segment circular]], hem de restar l'àrea del triangle, determinada pel centre del cercle i els dos extrems de l'arc, de l'àrea <math>A</math>.
=== Radi d'un arc ===
Emprant el teorema de les cordes intersecants (també conegut com la [[potència d'un punt]]), és possible calcular el radi <math>r</math> d'una circumferència, donada l'altura <math>H</math> i l'amplada <math>W</math> d'un arc:
Considerem la [[Corda (geometria)|corda]] amb els mateixos extrems que l'arc. La seva mediatriu és una altra recta, que passa pel centre de la circumferència, i considerem-ne l'interval contingut a dins; així obtenim un diàmetre. La longitud de la primera corda és <math>W,</math> i està dividida per la mediatriu en dues meitats iguals, cadascuna amb longitud <math>\frac{W}{2}.</math> La longitud total del diàmetre és <math>2r,</math> i està dividit en dues parts iguals per la primera corda. La longitud d'una part és l'altura de l'arc, <math>H,</math> i l'altra part és la resta del diàmetre, amb longitud <math>(2r-H).</math> Aplicant el teorema de les cordes intersecants a aquestes dues cordes, obtenim:
:<math>H(2r-H)=\left(\frac{W}{2}\right)^2</math>
d'on
:<math>2r-H=\frac{W^2}{4H}</math>
i per tant:
:<math>r=\frac{W^2}{8H}+\frac{H}{2}</math>
== Vegeu també ==
* [[Arc de meridià]]
* [[Perímetre]]
== Enllaços externs ==
{{Commonscat}}
*[http://www.mathopenref.com/tocs/circlestoc.html Table of contents for Math Open Reference Circle pages]
*[http://www.mathopenref.com/arc.html Math Open Reference page on circular arcs] With interactive animation
*[http://www.mathopenref.com/arcradius.html Math Open Reference page on Radius of a circular arc or segment] With interactive animation
*{{MathWorld | urlname=Arc | title=Arc}}
[[Categoria:Corbes]]
| |||