Arrel d'una funció: diferència entre les revisions

Cap resum de modificació
{{Css Image Crop |Image = X-intercepts.svg |bSize = 300 |cWidth = 300 |cHeight = 110 |oLeft = 0 |oTop = 100 |Location = right |Description = Una gràfica de la funció cos(''x'') sobre el domini <math>\scriptstyle{[-2\pi,2\pi]}</math>, on s'han marcat en {{color|red|vermell}} les interseccions amb l'eix de les ''x''. La funció té '''zeros''' quan ''x'' val <math>\scriptstyle\frac{-3\pi}{2}</math>, <math>\scriptstyle\frac{-\pi}{2}</math>, <math>\scriptstyle\frac{\pi}{2}</math> i <math>\scriptstyle\frac{3\pi}{2}</math>.}}
 
Una '''arrel''' d'una [[Funció matemàtica|funció]] ''f''(''x'') és un element ''x'' del [[Domini (matemàtiques)|domini]] d'aquesta funció tal que
 
:<math>f(x) = 0 \,</math>
 
Per aquesta raó a vegades també s'anomenen '''zeros''' de la funció.<ref name="Foerster">{{cite book | last = Foerster | first = Paul A. | title = Algebra and Trigonometry: Functions and Applications, Teacher's Edition | edition = Classics | year = 2006 | page = 535 | publisher = [[Prentice Hall]] | location = Upper Saddle River, NJ | url = http://www.amazon.com/Algebra-Trigonometry-Functions-Applications-Prentice/dp/0131657100 | isbn = 0-13-165711-9}}</ref>
Per aquesta raó a vegades també s'anomenen ''zeros'' de la funció.
 
Una '''arrel''' d'un [[polinomi]] és un zero de la seva [[Polinomi#Funcions polinòmiques|funció polinòmica]].
 
El [[teorema fonamental de l'àlgebra]] afirma que qualsevol [[polinomi]] no nul té, com a màxim, tantes arrels com indiqui el seu [[Grau d'un polinomi|grau]], i que el nombre d'arrels i el grau són iguals si hom considera les arrels [[Nombre complex|complexes]] (o més en general, les arrels en una [[Cos algebraicament tancat|extensió algebraicament tancada]]) comptades amb les seves [[multiplicitat]]s. Per exemple, el polinomi ''f'' de grau 2 definit per
:<math>f(x)=x^2-5x+6</math>
té les arrels 2 i 3, ja que
:<math>f(2) = 2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 0 \quad \text{ i }\quad f(3) = 3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 0.</math>
 
Si la funció envia [[Nombre real|nombres reals]] a nombres reals, llavors els seus zeros són les coordenades ''x'' dels punts on la seva [[Gràfica d'una funció|gràfica]] intersecta amb l'[[Sistema de coordenades cartesianes#Sistema de coordenades de dues dimensions|eix de les ''x'']].
 
== Solució d'una equació ==
Tota [[equació]] en la [[Variable (matemàtiques)|variable]] {{math|''x''}} es pot reescriure fàcilment com
:{{math|1=''f''(''x'') = 0}}
si es reagrupen tots els termes a la banda esquerra de la igualtat. Per tant, les solcions d'una equació són exactament els zeros de la funció {{math|''f''}}. En altres paraules, trobar el "zero d'una funció" és una frase equivalent a trobar una "solució de l'equació obtinguda igualant la funció a 0", i l'estudi dels zeros de funcions és exactament el mateix que l'estudi de les solucions d'equacions.
 
== Arrels de polinomis ==
Tot polinomi real de [[Grau d'un polinomi|grau]] senar té un nombre senar d'arrels reals (comptant les seves [[Multiplicitat#Multiplicitat de l'arrel d'un polinomi|multiplicitats]]); de la mateixa manera, un polinomi real de grau parell ha de tenir un nombre parell d'arrels reals. En conseqüència, els polinomis reals senars han de tenir almenys una arrel real (perquè 1 és l'enter senar més petit), mentre que els polinomis parells poden no tenir-ne cap. Aquest principi es pot demostrar mitjançant el [[teorema del valor intermedi]]: com que les funcions polinòmiques són [[Funció contínua|contínues]], el valor de la funció ha que creuar el 0 en el procés de canviar de negativa a positiva o viceversa.
 
=== Teorema fonamental de l'àlgebra ===
{{AP|Teorema fonamental de l'àlgebra}}
El teorema fonamental de l'àlgebra afirma que tot polinomi de grau ''n'' té ''n'' arrels complexes, comptades amb les seves multiplicitats. Les arrels no reals dels polinomis amb coeficients reals conformen parelles [[Conjugat|complexes conjugades]].<ref name="Foerster" /> Les [[fórmules de Viète]] relacionen els coeficients d'un polinomi amb sumes i productes de les seves arrels.
 
== Càlcul d'arrels ==
Per tal de calcular les arrels de funcions, per exemple [[Polinomi#Funcions polinòmiques|funcions polinòmiques]], hom necessita l'ús de tècniques especialitzades o d'[[aproximació]] (com per exemple, el [[mètode de Newton]]). Tot i això, per a algunes funcions polinòmiques, incloent-hi aquelles de [[Grau d'un polinomi|grau]] no superior a 4, es poden trobar totes les seves arrels [[Funció algebraica|algebraicament]] en termes dels seus coeficients.
 
== Conjunt de zeros ==
En [[topologia]] i altres àrees de les matemàtiques, el '''conjunt de zeros''' d'una [[funció]] real ''f'' : ''X'' → '''R''' (o més en general, una funció que pren els seus valors en algun [[Grup abelià|grup additiu]]) és el [[subconjunt]] <math>f^{-1}(0)</math> de ''X'' (l'[[Imatge (matemàtiques)|antiimatge]] de {0}).
 
Els conjunts de zeros són importants en moltes àrees de les matemàtiques. Una àrea d'especial importància és la geometria algebraica, on la primera definició d'una [[varietat algebraica]] és mitjançant conjunts de zeros. Per exemple, per a cada conjunt ''S'' de polinomis en ''k''[''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>], hom defineix ''Z''(''S'') com el conjunt de punt de '''A'''<sup>''n''</sup> en els quals les funcions de ''S'' prenen totes el valor 0; és a dir,
:<math>Z(S) = \{x \in \mathbb A^n \mid f(x) = 0 \text{ per a tot } f\in S\}.</math>
Llavors un subconjunt ''V'' de '''A'''<sup>''n''</sup> s'anomena '''conjunt algebraic afí''' si ''V'' = ''Z''(''S'') per a algun ''S''. Aquests conjunts algebraics afins són els elements principals per a la construcció de la geometria algebraica.
 
== Referències ==
{{reflist}}
 
== Vegeu també ==
{{esborrany de matemàtiques}}
* [[Pol (anàlisi complexa)]]
{{massacurt|data=abril de 2013}}
* [[Teorema fonamental de l'àlgebra]]
* [[Mètode de Newton]]
 
== Enllaços externs ==
* {{MathWorld |title=Root |urlname=Root}}
 
{{ORDENA:Arrel D'Una Funcio}} <!--ORDENA generat per bot-->