Teorema dels quatre quadrats: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
copio per fusionar |
Cap resum de modificació |
||
Línia 1:
El '''teorema dels quatre quadrats''' de Lagrange, també anomenat '''[[conjectura]] de [[Claude-Gaspard Bachet de Méziriac|Bachet]]''', va ser demostrat el [[1770]] per [[Joseph Louis Lagrange]]. Diu que qualsevol [[nombre enter]] [[enter positiu|positiu]] és la suma de quatre quadrats enters.▼
▲El '''teorema dels quatre quadrats''' de Lagrange, també anomenat '''conjectura de [[Claude-Gaspard Bachet de Méziriac|Bachet]]''', va ser demostrat el [[1770]] per [[Joseph Louis Lagrange]]. Diu que qualsevol [[enter positiu]] és la suma de quatre quadrats enters.
== Exemple ==
Per exemple:
<math>3 = 1^2+ 1^2 +1^2+ 0^2</math>
<math>31 = 5 ^2+ 2^ 2+ 1 ^2 +1 ^2</math>
<math>310 = 17 ^2+ 4 ^2 +2 ^2+ 1 ^2 </math>
== Explicació ==
Més formalment, per a cada enter positiu '' n '', existeixen nombres enters no negatius '' a '', '' b '', '' c '', '' d '' tals que:▼
: '' n '' = '' a '' <sup> 2 </sup>+'' b '' <sup> 2 </sup>+'' c '' <sup> 2 </sup>+'' d '' <sup> 2 </sup>▼
[[Adrien-Marie Legendre]] va millorar el teorema el [[1798]] demostrant que un enter positiu es pot expressar com la suma de tres quadrats si i només si no és de la forma 4 <sup> '' k '' </sup> (8 '' m ''+7). La seva prova estava incompleta, deixant un buit que després va omplir [[Carl Friedrich Gauss]].▼
El [[1834]], [[Carl Gustav Jakob Jacobi]] va trobar la fórmula exacta per al nombre total de modes en què un nombre enter positiu '' n '' donat, es pot representar com la suma de quatre quadrats. ▼
Aquest nombre és vuit vegades la suma dels [[divisor|divisors]] de '' n '' si '' n '' és senar i 24 vegades la suma dels
El teorema dels quatre quadrats de Lagrange és un cas especial del [[teorema del nombre poligonal de Fermat]] i del [[problema de Waring]].▼
Una altra generalització possible és: donats els nombres naturals ''a'', ''b'', ''c'', ''d'', es podria resoldre:
Línia 25:
on <math>x_1</math>, <math>x_2</math>, <math>x_3</math>, <math>x_4</math> corresponen a nombres naturals positius.
El cas <math>a=b=c=d=1</math> es contesta pel teorema dels quatre quadrats.
Linha 32 ⟶ 30:
[[Srinivāsa Rāmānujan|Rāmānujan]] va donar la solució general, demostrant que si assumim, sense pèrdua de generalitat, que <math>a \leq b \leq c \leq d</math>, llavors hi ha exactament 54 opcions possibles per ''a'', ''b'', ''c'', i ''d'', tal que l'equació és soluble en nombres enters <math>x_1, x_2, x_3, x_4</math> per a tota ''n''. De fet, Ramanujan va catalogar una 55a possibilitat <math>a=1</math>, <math>b=2</math>, <math>c=5</math>, <math>d=5</math>, però en aquest cas l'equació no és resoluble si <math>n=15</math>.
== Referències ==
{{referències}}
== Enllaços externs ==▼
{{ORDENA:Teorema Dels Quatre Quadrats}} <!--ORDENA generat per bot-->▼
*{{MathWorld|LagrangesFour-SquareTheorem|Lagrange's Four-Square Theorem}}▼
[[Categoria:Conjectures demostrades]]
[[Categoria:Teoria de nombres]]
[[Categoria:Teoremes|Quatre quadrats de Lagrange]]
▲Més formalment, per a cada enter positiu '' n '', existeixen nombres enters no negatius '' a '', '' b '', '' c '', '' d '' tals que:
▲: '' n '' = '' a '' <sup> 2 </sup>+'' b '' <sup> 2 </sup>+'' c '' <sup> 2 </sup>+'' d '' <sup> 2 </sup>
▲[[Adrien-Marie Legendre]] va millorar el teorema el [[1798]] demostrant que un enter positiu es pot expressar com la suma de tres quadrats si i només si no és de la forma 4 <sup> '' k '' </sup> (8 '' m ''+7). La seva prova estava incompleta, deixant un buit que després va omplir [[Carl Friedrich Gauss]].
▲El [[1834]], [[Carl Gustav Jakob Jacobi]] va trobar la fórmula exacta per al nombre total de modes en què un nombre enter positiu '' n '' donat, es pot representar com la suma de quatre quadrats.
▲Aquest nombre és vuit vegades la suma dels [[divisor|divisors]] de '' n '' si '' n '' és senar i 24 vegades la suma dels divisors imparells de '' n '' si '' n '' és parell.
▲El teorema dels quatre quadrats de Lagrange és un cas especial del [[teorema del nombre poligonal de Fermat]] i del [[problema de Waring]].
▲== Enllaços externs ==
▲*{{MathWorld|LagrangesFour-SquareTheorem|Lagrange's Four-Square Theorem}}
|