Teorema dels quatre quadrats: diferència entre les revisions

cap resum d'edició
(copio per fusionar)
Cap resum de modificació
El '''teorema dels quatre quadrats''' de Lagrange, també anomenat '''[[conjectura]] de [[Claude-Gaspard Bachet de Méziriac|Bachet]]''', va ser demostrat el [[1770]] per [[Joseph Louis Lagrange]]. Diu que qualsevol [[nombre enter]] [[enter positiu|positiu]] és la suma de quatre quadrats enters.
{{FR|data=abril de 2015}}
{{duplicat|Teorema dels quatre quadrats de Lagrange|data=abril de 2015}}
El '''teorema dels quatre quadrats''' de Lagrange, també anomenat '''conjectura de [[Claude-Gaspard Bachet de Méziriac|Bachet]]''', va ser demostrat el [[1770]] per [[Joseph Louis Lagrange]]. Diu que qualsevol [[enter positiu]] és la suma de quatre quadrats enters.
 
== Exemple ==
Per exemple:
 
<math>3 = 1^2+ 1^2 +1^2+ 0^2</math>
 
<math>31 = 5 ^2+ 2^ 2+ 1 ^2 +1 ^2</math>
 
<math>310 = 17 ^2+ 4 ^2 +2 ^2+ 1 ^2 </math>
 
== Explicació ==
Més formalment, per a cada enter positiu '' n '', existeixen nombres enters no negatius '' a '', '' b '', '' c '', '' d '' tals que:
: '' n '' = '' a '' <sup> 2 </sup>+'' b '' <sup> 2 </sup>+'' c '' <sup> 2 </sup>+'' d '' <sup> 2 </sup>
[[Adrien-Marie Legendre]] va millorar el teorema el [[1798]] demostrant que un enter positiu es pot expressar com la suma de tres quadrats si i només si no és de la forma 4 <sup> '' k '' </sup> (8 '' m ''+7). La seva prova estava incompleta, deixant un buit que després va omplir [[Carl Friedrich Gauss]].
El [[1834]], [[Carl Gustav Jakob Jacobi]] va trobar la fórmula exacta per al nombre total de modes en què un nombre enter positiu '' n '' donat, es pot representar com la suma de quatre quadrats.
 
Aquest nombre és vuit vegades la suma dels [[divisor|divisors]] de '' n '' si '' n '' és senar i 24 vegades la suma dels divisors[[divisor]]s imparells[[imparell]]s de '' n '' si '' n '' és [[parell]].
Més formalment, par a cada enter positiu n existeixen nombres enters no negatius a,b,c,d tal que <math>n =a ^2 + b ^2 + c ^2 + d ^2 </math>. [[Adrien-Marie Legendre]] va millorar el teorema el [[1798]] demostrant que un enter positiu pot expressar-se com la suma de tres quadrats si no és de la forma <math>4 ^k (8m + 7)</math>.
 
El teorema dels quatre quadrats de Lagrange és un cas especial del [[teorema del nombre poligonal de Fermat]] i del [[problema de Waring]].
La seva prova era incompleta, deixant un buit que després va omplir [[Carl Friedrich Gauss]]. El [[1834]], [[Carl Gustav Jacob Jacobi]] va trobar la fórmula exacta per al nombre total de maneres que un nombre enter positiu '' n '' donat pot representar-se com la suma de quatre quadrats. Aquest nombre és vuit cops la suma dels divisors de '' n '' si '' n '' és imparell i 24 cops la suma dels [[divisor]]s [[imparell]]s de '' n '' si '' n '' és [[parell]].
 
 
El teorema dels quatre quadrats de Lagrange és un cas especial del teorema del nombre poligonal de [[Fermat]] i del problema de Waring.
 
 
Una altra generalització possible és: donats els nombres naturals ''a'', ''b'', ''c'', ''d'', es podria resoldre:
 
on <math>x_1</math>, <math>x_2</math>, <math>x_3</math>, <math>x_4</math> corresponen a nombres naturals positius.
 
 
 
El cas <math>a=b=c=d=1</math> es contesta pel teorema dels quatre quadrats.
[[Srinivāsa Rāmānujan|Rāmānujan]] va donar la solució general, demostrant que si assumim, sense pèrdua de generalitat, que <math>a \leq b \leq c \leq d</math>, llavors hi ha exactament 54 opcions possibles per ''a'', ''b'', ''c'', i ''d'', tal que l'equació és soluble en nombres enters <math>x_1, x_2, x_3, x_4</math> per a tota ''n''. De fet, Ramanujan va catalogar una 55a possibilitat <math>a=1</math>, <math>b=2</math>, <math>c=5</math>, <math>d=5</math>, però en aquest cas l'equació no és resoluble si <math>n=15</math>.
 
== Referències ==
{{referències}}
 
== Enllaços externs ==
{{ORDENA:Teorema Dels Quatre Quadrats}} <!--ORDENA generat per bot-->
*{{MathWorld|LagrangesFour-SquareTheorem|Lagrange's Four-Square Theorem}}
 
{{ORDENA:Teorema Dels Quatre Quadrats}} <!--ORDENA generat per bot-->
[[Categoria:Conjectures demostrades]]
[[Categoria:Teoria de nombres]]
[[Categoria:Teoremes|Quatre quadrats de Lagrange]]
 
 
 
 
El '''teorema dels quatre quadrats de Lagrange''', també conegut com la '''[[conjectura]] de [[Claude-Gaspard Bachet de Méziriac|Bachet]]''' va ser demostrada el [[1770]] per [[Joseph Louis Lagrange]].
Diu que cada [[nombre enter]] positiu es pot expressar com la suma de quatre quadrats d'enters. Per exemple,
: 31 = 5 <sup> 2 </sup>+2 <sup> 2 </sup>+1 <sup> 2 </sup>+1 <sup> 2 </sup>
: 310 = 17 <sup> 2 </sup>+abril <sup> 2 </sup>+2 <sup> 2 </sup>+1 <sup> 2 </sup>
Més formalment, per a cada enter positiu '' n '', existeixen nombres enters no negatius '' a '', '' b '', '' c '', '' d '' tals que:
: '' n '' = '' a '' <sup> 2 </sup>+'' b '' <sup> 2 </sup>+'' c '' <sup> 2 </sup>+'' d '' <sup> 2 </sup>
[[Adrien-Marie Legendre]] va millorar el teorema el [[1798]] demostrant que un enter positiu es pot expressar com la suma de tres quadrats si i només si no és de la forma 4 <sup> '' k '' </sup> (8 '' m ''+7). La seva prova estava incompleta, deixant un buit que després va omplir [[Carl Friedrich Gauss]].
El [[1834]], [[Carl Gustav Jakob Jacobi]] va trobar la fórmula exacta per al nombre total de modes en què un nombre enter positiu '' n '' donat, es pot representar com la suma de quatre quadrats.
Aquest nombre és vuit vegades la suma dels [[divisor|divisors]] de '' n '' si '' n '' és senar i 24 vegades la suma dels divisors imparells de '' n '' si '' n '' és parell.
El teorema dels quatre quadrats de Lagrange és un cas especial del [[teorema del nombre poligonal de Fermat]] i del [[problema de Waring]].
 
== Enllaços externs ==
*{{MathWorld|LagrangesFour-SquareTheorem|Lagrange's Four-Square Theorem}}
 
{{ORDENA:Teorema Dels Quatre Quadrats De Lagrange}}
[[Categoria:Teoremes|Quatre quadrats de Lagrange]]
[[Categoria:Teoria de nombres]]
140.202

modificacions