Diferència entre revisions de la pàgina «Gottfried Wilhelm Leibniz»

Leibniz se centrà especialment en l’estudi sobre [[successions numèriques]], i, com a exemple, les [[successióSuccessió (matemàtiques)|successions]] de diferències consecutives associades. Donada una [[successió]] de nombres  

Leibniz considerava una corba com un [[polígon]] d’[[infinit|infinits]]s costats de longitud [[infinitesimal]]. Amb tal corba, s’associa una [[successió]] d’[[Abscissa (matemàtiques)|abscisses]] <math>x_1, x_2, x_3, x_4, \ldots</math> i una [[successió]] d’[[Ordenada (matemàtiques)|ordenades]] <math>y_1, y_2, y_3, y_4, \ldots</math> on els punts <math>(x_i, y_i)</math> estan tots ells a la corba i componen els [[vèrtexs]] de la poligonal d’[[infinit|infinits]]s costats. La diferència entre dos valors successius de <math>x</math> és anomenada ''[[diferencial]] de'' <math>x</math> i es representa per <math>dx</math>, per significat anàleg, té <math>dy</math>. El diferencial <math>dx</math> és una quantitat fixa, no nul·la, [[Infinit|infinitament]] petita en comparació amb <math>x</math>, de fet, és una quantitat [[infinitesimal]]. Els costats del [[polígon]] són representats per <math>ds</math>. Resulta així el [[triangle característic]] de Leibniz, que és el mateix que ja fou considerat per [[Barrow]].

Curiosament, els termes [[abscissa]], [[ordenada]] i [[coordenades]], tan propis de la [[geometria analítica]], no foren utilitzats mai per [[Descartes]], sinó que són deguts a Leibniz; i mentre nosaltres parlem de [[diferencial|diferencials]]s, ell parlà sempre de diferències. 

El [[triangle característic]] té costats [[infinit|infinitesimals]]esimals <math>dx, dy, ds</math> i verifica la relació <math>ds^2 = dx^2 + dy^2</math>. El costat ds sobre la corba es fa coincidir amb la [[tangent]] de diferencials als que anomenà quocient diferencial. Leibniz mai considerà la [[derivada]] com un [[límit]].

Investigà durant un temps fins a trobar les regles correctes per diferenciar [[productes]] i [[quocient|quocients]]s (anomenada llei de Leibniz). Tals regles s’expressen fàcilment en la seva notació [[diferencial]] com:

Considerem ara una corba amb una [[successió]] d’[[Ordenada (matemàtiques)|ordenades]] traçades a [[interval|intervals]]s de longitud unitat.

La suma de les [[Ordenada (matemàtiques)|ordenades]] és una aproximació de la [[quadratura]] de la corba i la diferència entre dues [[Ordenada (matemàtiques)|ordenades]] successives és aproximadament igual al [[pendent]] de la corresponent [[tangent]]. Com més petita s’esculli la unitat 1, millor seran les aproximacions. Leibniz raonava que si la unitat pogués ser presa com a [[infinit|infinitament]]ament petita aquestes aproximacions serien exactes, és a dir, la [[quadratura]] seria igual a la suma de les [[Ordenada (matemàtiques)|ordenades]] i el [[pendent]] de la [[tangent]] seria igual a la diferència de dues [[Ordenada (matemàtiques)|ordenades]] successives. Com les operacions de prendre diferències i sumar són inverses entre si, va deduir que el càlcul de [[Quadratura|quadratures]] i de [[tangent|tangents]]s també eren inverses entre elles.

El [[1675]] investiga la possibilitat de formular simbòlicament els problemes de [[quadratura|quadratures]] i introdueix els símbols que actualment utilitzem per a la [[integral]] i la [[diferencial]]. Tanmateix, la notació que usem per a la [[derivada]] li devem a [[Lagrange]], del [[segle XVIII]]. La que usem per als [[límit]]s d’[[integració]] fou introduïda per [[Fourier]] al primer terç del [[segle XIX]]. Fins i tot el terme [[integral]] és més tardà, ja que Leibniz anomenà calculus diferentialis ([[càlcul|càlculs]]s de diferències) a la part del [[càlcul]] que s’ocupa de l’estudi de [[tangent|tangents]]s i calculus summatorius ([[càlcul]] de sumes) a la que s’ocupa de problemes de [[quadratura|quadratures]]. Per ell, la [[integral]] és una suma d’[[infinit|infinits]]s rectangles [[infinitesimal|infinitesimals]]s. Fou en [[1690]] quan [[Johann Bernouilli]] suggerí anomenar calculus integrallis al [[càlcul]] de [[quadratura|quadratures]], d’on deriva l’actual terme d’[[integral]].

Cal destacar que no foren els camins del raonament lògic deductiu els seguits per Leibniz per descobrir el [[càlcul infinitesimal]], sinó els de la intuïció, la conjectura, l’estudi de casos particulars i la generalització. Els mateixos camins que segueixen avui en dia els matemàtics actius en els seus treballs d’investigació. Tot i que treballà amb conceptes obscurs i imprecisos, fou capaç de desenvolupar [[algorisme|algorismes]]s de [[càlcul]] eficaços i de gran poder heurístic.<ref>{{Ref-llibre|cognom = Dorce Polo|nom = Carles|títol = Història de la matemàtica. Des del segle XVII fins a l'inici de l'època contemporània|url = |edició = |llengua = |data = |editorial = |lloc = |pàgines = |isbn = }}</ref><ref>{{Ref-llibre|cognom = Dunhan|nom = William|títol = The Calculus gallery: masterpicies from Newton to Lebesgue|url = |edició = |llengua = |data = |editorial = |lloc = |pàgines = |isbn = }}</ref>