|
Un '''polinomi de Laurent''' és una generalització de la noció de [[polinomi]] on es permet que la indeterminada prengui [[Potència (matemàtiques)|potències]] [[Nombre negatiu|negatives]]. Van ser introduïts pel matemàtic francès [[:fr:Pierre_Alphonse_Laurent|Pierre Alphonse Laurent]] l'any 1843 per a l'estudi de les [[Funció (matemàtiques)|funcions]], amb la finalitat de generalitzar la [[sèrie de Taylor]] a través de la [[sèrie de Laurent]]. Apareixen en nombroses branques de les [[matemàtiques]] i de la [[física teòrica]], en particular en [[àlgebra]], en l'estudi de les [[Àlgebra de Lie|algèbres de Lie]] i en relació amb l'[[Anàlisi de Fourier|anàlisi de Fourier.]].
== Definició ==
Sigui ''A'' un [[anell commutatiu]], un polinomi de Laurent és una expressió de la forma :
: <math>p(tX) = \sum_{k \in \mathbb Z} a_k tX^k, \quad a_k \in RA</math>
on només hi ha una quantitat [[Conjunt finit|finita]] de coeficients <math>a_k</math> que siguin diferents del [[zero]] de ''A''.
== L'anell dels polinomis de Laurent ==
El conjunt dels polinomis de Laurent a coeficients en un anell commutatiu ''A'' es denota <math>RA[tX, tX^{-1}]</math> o(en <math>R[t^{\pmla 1}]</math>indeterminada ''X''). Aquest conjunt està proveït d'una estructura d'[[Anell (matemàtiques)|anell]] amb les mateixes operacions que l'[[anell de polinomis]] a coeficients en ''A''. En particular, l'anell dels polynômespolinomis de Laurent s'obté percom a [[:fr:Localisation_localització (mathématiquesmatemàtiques)|localització]] de l'anell de polinomis.
Per tant, té les operacions següents :
: <math>\left(\sum_isum_{i\in\mathbb Z} a_iX^i\right) + \left(\sum_isum_{i\in\mathbb Z} b_iX^i\right) =
\sum_i (a_i+b_i)X^i</math>
: <math>\left(\sum_isum_{i\in\mathbb Z} a_iX^i\right) \cdot \left(\sum_jsum_{j\in\mathbb Z} b_jX^j\right) =
\sum_ksum_{k\in\mathbb Z} \left(\sum_underset{i,j: i + j = k}{\sum_{i,j\in\mathbb Z}} a_i b_j\right)X^k.</math>
IA més, l'estructura natural de [[A-mòdul|''A''-mòdul]] permet definir la multiplicació per un [[Escalar (matemàtiques)|escalar]]:
: .<math>a \cdot \sum_{i\in\Z} a_iX^i\, = \, \sum_{i\in\Z} (a a_i)\,X^i</math>
== Propietats ==
és un sota-L'anell de''A''[''X'', .''X''<sup>−1</sup>] és un sota-anellsubanell de l'anell de les fraccions racionals .<math>R[t]</math><math>R[t^{\pm 1}]</math><math>R[t^{\pm 1}]</math><math>R''A''(t''X'')</math>. ÉsIgualment, igualmenttambé és un sota-anellsubanell del [[Cos (matemàtiques)|cos]] de les [[Sèrie de Laurent|sèries de Laurent]] formals ''A''((''X'')).
L'anell ''A''[''X'', ''X''<sup>−1</sup>] és un [[anell noetherià]] però pas [[:fr:Anneau_artinienanell artinià|artinià.]]<math>R[t^{\pm 1}]</math>. És [[isomorf]] a l'[[anell de grup]] ℤ''A'' i hereta doncsper tant d'una estructura commutativa i cocommutativa d'[[:fr:Algèbre_de_Hopf|algebraàlgebra de Hopf.]]<math>\mathbb Z R</math>. SíSi ''RA'' és un [[Cos (matemàtiques)|cos]], llavors ''A''[''X'', ''X''<sup>−1</sup>] és una R''A''-[[Àlgebraàlgebra sobre un cos|algèbreàlgebra]].<math>R[t^{\pm 1}]</math>
== Vegeu també ==
* [[Sèrie de Laurent]]
[[Categoria:Polinomis]]
[[Categoria:Teoria d'anells]]
| 