Teoria del caos: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Removing Link GA template (handled by wikidata) |
Cap resum de modificació |
||
Línia 1:
En [[matemàtiques]] i en [[física]], la '''teoria del caos''' tracta el comportament de determinats [[sistema dinàmic|sistemes dinàmics]] no lineals que, sota certes condicions, presenten un fenomen conegut com a
Cal remarcar que, contràriament al significat habitual del terme
== Descripció de la teoria ==
{{Infoprevia| articles=[[Sistema dinàmic]]
# [[Bifurcació (física)|Bifurcació]]
# [[Espai de fases]]}}En general, un sistema dinàmic no lineal pot exhibir un o més dels següents tipus de comportament, en funció de l'estat inicial del sistema i dels valors dels seus paràmetres, si és que en té: a) sempre en repòs; b) moviment no limitat, amb poc de sentit físic; c) moviment periòdic, com el d'un pèndol, per exemple; d) moviment
Un sistema dinàmic no lineal s'anomena ''caòtic'' si el seu comportament, per a alguns valors dels seus paràmetres, presenta les
* ha de ser sensible a les condicions inicials: això significa que dos punts inicialment propers en aquest sistema es poden moure en trajectòries molt diferents en l'[[espai de fases]]. Els sistemes es comporten de
* ha de presentar la propietat de mescla topològica: això significa que el sistema evoluciona de manera que qualsevol trajectòria en una regió de l'espai de fases tornarà a passar per la mateixa regió una vegada i una altra. Com l'espai de fases és finit, això implica que les trajectòries es mesclaran molt les unes amb les altres després d'un temps. Aquesta propietat i l'anterior s'han anomenat sovint com ''la
* les seves òrbites periòdiques són denses
{{Caixa desplegable
|titol=Caoticitat: formulació matemàtica precisa
Línia 24:
=== Atractors estranys ===
[[Fitxer:Lorenz_system_r28_s10_b2-6666.png|thumb|250px|L'atractor estrany del [[model de Lorenz]], per a uns valors dels paràmetres: ''r'' = 28, ''σ'' = 10, ''b'' = 8/3
La trajectòria en l'espai de fases per a un sistema donat depèn de l'estat inicial del sistema i dels paràmetres, però sovint el diagrama de fases revela que el sistema acaba fent el mateix moviment per a tots els estats inicials en una certa regió, de manera que independentment de les condicions inicials el sistema acaba descrivint la mateixa trajectòria en l'espai de fases. Per exemple, en un pèndol forçat a una determinada freqüència, el moviment del pèndol acabarà
Per exemple, un model tridimensional simple de [[convecció]] atmosfèrica, el [[model de Lorenz]], genera en l'espai de fases el famós atractor de Lorenz, que és potser un dels diagrames de sistemes caòtics més ben coneguts, no
El [[teorema de Poincaré-Bendixson]] demostra que un atractor estrany només pot donar-se en un sistema continu dinàmic si té tres o més dimensions (tres o més graus de llibertat). No obstant això, tal restricció no s'aplica als sistemes discrets, que poden exhibir atractors estranys en sistemes de
=== Caos en sistemes conservatius i en sistemes dissipatius ===
Línia 36:
== Desenvolupament històric ==
Els inicis de la teoria del caos se situen cap al 1900, en els estudis d'Henri Poincaré sobre el problema de moviment de tres cossos sotmesos a la seva atracció gravitatòria mútua, l'anomenat
La teoria del caos avançà més ràpidament a partir de mitjan [[segle XX]], quan es van començar a poder utilitzar [[ordinador]]s electrònics. Bona part de la matemàtica del caos implica la repetició indefinida de fórmules matemàtiques simples (evident en el cas dels sistemes discrets; per als sistemes continus, però, les equacions diferencials sempre es poden integrar finalment per un procediment iteratiu). Aquesta repetició indefinida és ideal per a introduir-la en un ordinador.
Un pioner de la teoria fou [[Edward Lorenz]], l'interès del qual en el caos s'inicià accidentalment
== Caos i sistemes complexos ==
{{Problema|física|És el caos determinista de baixa dimensió una resposta al comportament dels sistemes complexos?}}El descobriment de la dinàmica caòtica ha estat sorprenent i ha canviat les idees establertes sobre el comportament i modelització de sistemes. La sensibilitat a les condicions inicials i les evolucions irregulars que presenten els sistemes caòtics fou el que va dur a considerar el caos determinista de pocs graus de llibertat com un possible camí per a explicar l'aparició de [[sistemes complexos|comportaments complexos]] en diversos sistemes naturals (com
Nogensmenys, els comportaments dels sistemes amb comportaments complexos semblen implicar una dimensionalitat més alta i la coexistència de diverses escales temporals característiques (o diverses freqüències pròpies). Els sistemes caòtics de baixa dimensió descriuen moviments en l'espai de fases que es basen en unes poques trajectòries bàsiques que, tot i aparèixer lleugerament diferents cada vegada, segueixen una seqüència definida, d'estructura força simple i amb molt poques freqüències característiques. El model de Rössler, per exemple, només presenta una freqüència bàsica d'oscil·lació, tot i ser caòtic: té un període bàsic que es repeteix amb variacions en l'amplitud. És clarament irregular i evidentment caòtic segons la definició matemàtica, però el seu grau de complexitat és baix. En definitiva, la teoria de sistemes dinàmics no lineals pot arribar a explicar alguns fenòmens associats a la complexitat, però és lluny de poder reproduir les característiques bàsiques que s'hi observen; per això, han sorgit altres propostes per explicar determinats aspectes de la complexitat, a partir de conceptes bàsics diferents. Es pot citar la [[teoria de catàstrofes]], els [[autòmat cel·lular|autòmats cel·lulars]], les [[xarxa neuronal|xarxes neuronals]] i les xarxes de Kaufmann, la [[criticitat autoorganitzada]] o els models espaciotemporals.
== Vegeu també ==
Línia 55:
=== Nivell divulgatiu i introductori ===
* Figueras, M. ''i cols.'': «Què són i què fan els sistemes dinàmics?» ''Revista Catalana de Física'' vol. 2 núm. 4, 1r semestre de 1998 (Societat Catalana de Física, Barcelona).
* Stewart, I.: ''¿Juega Dios a los dados?'' (Crítica, Barcelona, 1991).
* Gleick, J.: ''Caos, el nacimiento de una nueva ciencia'' (Crítica, Barcelona, 1990).
=== Nivell avançat ===
* Wiggins, S.: ''Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos'' (Springer-Verlag, Nova York, 1990).
Línia 65:
== Enllaços externs ==
* [http://www.fractaltec.org/ Projecte Lliure d'Investigació en Matemàtica Fractal i Teoria del Caos] {{es}}.
* [http://www.nbi.dk/ChaosBook/ Chaos, classical and quantum] {{en}}.
* [http://www.imho.com/grae/chaos/chaos.html ''Chaos Theory: A Brief Introduction''] {{en}}.
* [http://hypertextbook.com/chaos/ ''The Chaos Hypertextbook'']. Introducció al caos i els fractals. {{en}}
* [http://physics.mercer.edu/pendulum/ Pèndol caòtic interactiu], permet canviar paràmetres i recollir les dades. {{en}}
|