Integral de Gauß: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Cap resum de modificació |
Cap resum de modificació |
||
Línia 5:
:<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}~,</math>
o, de forma equivalent, com
:<math>\int_{0}^\infty e^{-x^2}\,dx= \frac {\sqrt{\pi}} 2.</math>
La demostració d'aquesta integral està basada en el [[Teorema de Fubini]].
==El càlcul de la integral==
El càlcul de la integral es pot obtenir a partir del [[teorema del residu]] de l'[[anàlisi complexa]], i també es pot calcular amb un procediment analític.
Sigui '''I''' el valor d'aquesta integral. Aleshores,
:<math>I^2 = \int_{0}^\infty e^{-x^2}dx\, \int_{0}^\infty e^{-y^2}dy\, = \int_{0}^\infty\int_{0}^\infty e^{-(x^2+y^2)}dx dy~.</math>
En la darrera d'aquestes igualtats estem emprant el [[teorema de Fubini]]. En la integració emprem dos símbols diferents, ''x'' i ''y'', per a les dues variables d'integració perquè cadascuna d'elles hi juga un paper independent. Aquesta expressió es pot veure també com el producte de dues funcions simètriques respecte la recta ''y=x''.
Ara passem a [[coordenades polars]] amb els canvi
<math>x = ρ cos θ </math>,
<math>y = ρ sin θ </math>,
<math>dx dy = ρdρdθ. </math>.
Obtenim així,
:<math> I^2 = \iint_{\R^+ \times [0,\, \frac{\pi}{2}]} \mathrm{e}^{-\rho^2}\, \rho\, \mathrm d\rho\, \mathrm d\theta =</math>
<math>=\left(\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-\rho^2}\, \rho\, \mathrm d\rho \right)\left(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\, \mathrm d\theta\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}</math>
Com abans, les variables <math>\rho</math> i <math>\theta</math> se separen. Per tant,
:<math>I^2 = \int_0^{\frac \pi 2}d\theta\,\int_0^\infty e^{-\rho^2}\rho d\rho </math>
La primera integral és immediata. Per demostrar la segona cal fer el canvi ''u'' enlloc de ''ρ²'' i canviar, per tant, ''ρ dρ'' per <math>\frac {du} 2</math>. Obtenim d'aquesta manera,
:<math>I^2 = \frac \pi 2 \int_0^\infty {\rho e^{-\rho^2} d\rho} = \frac \pi 4 \int_0^\infty {e^{-u}du} = \frac \pi 4 </math>
Com que l'exponencial és sempre positiva, fent l'arrel quadrada obtenim el resultat de la integral <math>I</math>, que estavem cercant. Això és,
:<math>I = \int_{0}^\infty e^{-x^2}\,dx= \frac {\sqrt{\pi}} 2.</math>
[[categoria:Càlcul]]
| |||