Demostració de l'últim teorema de Fermat: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Cap resum de modificació |
m Corregit: en aques indret > en aquest indret |
||
Línia 70:
=== Cas en què ''n'' és igual a tres ===
El cas ''n'' = 3 és més complex<ref>{{Plantilla:Dickson1}}, vol. 2, <span class="citation not_fr_quote" lang="en">« <span class="italique">Impossibility of <span class="texhtml">x<sup>3</sup> + y<sup>3</sup> = z<sup>3</sup></span></span> »</span>, [https://books.google.fr/books?id=9LQqAwAAQBAJ&pg=PA548 <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 545-550].</ref>. [[Leonhard Euler|Euler]] va escriure a [[Christian Goldbach|Goldbach]] el [[1753]], indicant-lo que l'havia resolt. L'única prova que va publicar, el 1770 en el seu ''Algebra'', és tanmateix incomplet<ref><span class="citation not_fr_quote" lang="en">« <span class="italique">The most common statement is that Euler did give a proof of the case n = 3 of Fermat's Last Theorem but that his proof was “incomplete” in an important respect. </span></span></ref>, per un punt crucial. Euler és força confús en
Per a aquesta demostració, estudia els nombres els cubs dels quals té la forma ''p''<sup>2</sup> + 3''q''<sup>2</sup> amb ''p'' i ''q'' primers entre sí. Per això, utilitza un mètode original per l'època : descompon ''p''<sup>2</sup> + 3''q''<sup>2</sup> = (''p'' + {{Plantilla:Math|i}}<span style="font-size:larger; letter-spacing:0px;">√</span><span style="border-top:1px solid black; padding:1px 0 0 3px">3</span><span class="racine " style="position:relative"></span>''q'')(''p'' – {{Plantilla:Math|i}}<span style="font-size:larger; letter-spacing:0px;">√</span><span style="border-top:1px solid black; padding:1px 0 0 3px">3</span><span class="racine " style="position:relative"></span>''q'') i busca els nombres de la forma ''a'' + {{Plantilla:Math|i}}''b''<span style="font-size:larger; letter-spacing:0px;">√</span><span style="border-top:1px solid black; padding:1px 0 0 3px">3</span><span class="racine " style="position:relative"></span> el cub dels quals és ''p'' + {{Plantilla:Math|i}}<span style="font-size:larger; letter-spacing:0px;">√</span><span style="border-top:1px solid black; padding:1px 0 0 3px">3</span><span class="racine " style="position:relative"></span>''q'' : en termes moderns, treballa dins de l'[[Anell (matemàtiques)|anell]] ℤ[<span><span class="texhtml">i</span><span style="font-size:larger; letter-spacing:0px;">√</span><span style="border-top:1px solid black; padding:1px 0 0 3px">3</span></span>]. El resultat que obté passa al conjugat ''p'' – {{Plantilla:Math|i}}<span style="font-size:larger; letter-spacing:0px;">√</span><span style="border-top:1px solid black; padding:1px 0 0 3px">3</span><span class="racine " style="position:relative"></span>''q''. En dedueix el resultat afirmant que si ''p''<sup>2</sup> + 3''q''<sup>2</sup> és un cub ''p'' + {{Plantilla:Math|i}}<span style="font-size:larger; letter-spacing:0px;">√</span><span style="border-top:1px solid black; padding:1px 0 0 3px">3</span>''q'' i ''p'' – {{Plantilla:Math|i}}<span style="font-size:larger; letter-spacing:0px;">√</span><span style="border-top:1px solid black; padding:1px 0 0 3px">3</span><span class="racine " style="position:relative"></span>''q'' igualment, del fet que ''p'' i ''q'' són primers entre ells, llavors- diu ell — ''p'' + {{Plantilla:Math|i}}<span style="font-size:larger; letter-spacing:0px;">√</span><span style="border-top:1px solid black; padding:1px 0 0 3px">3</span><span class="racine " style="position:relative"></span>''q'' i ''p'' – {{Plantilla:Math|i}}<span style="font-size:larger; letter-spacing:0px;">√</span><span style="border-top:1px solid black; padding:1px 0 0 3px">3</span><span class="racine " style="position:relative"></span>''q'' també. Es demostra fàcilment pels enters ordinaris que el producte de dos nombres coprimers és un cub, llavors cap d'ells ho és, per exemple pel [[lema d'Euclides]] o més simplement per l'[[Teorema fonamental de l'aritmètica|unicitat de la descomposició en factors primers]]. De fet encara es compleix per ℤ[<span><span class="texhtml">i</span><span style="font-size:larger; letter-spacing:0px;">√</span><span style="border-top:1px solid black; padding:1px 0 0 3px">3</span></span>] però per raons diferents. Euler no dón l'argument però, segons desprèn la resta del seu llibre, sembla clar que la seva convicciórau en una analogia amb els enters<ref>La démonstration d'Euler est décrite et discutée dans {{Plantilla:Harvsp|Edwards|2000|p=40-46}}. </ref>. O 2 x 2 = (1 + i <span style="font-size:larger; letter-spacing:0px;">√</span><span style="border-top:1px solid black; padding:1px 0 0 3px">3</span>)(1 - i <span style="font-size:larger; letter-spacing:0px;">√</span><span style="border-top:1px solid black; padding:1px 0 0 3px">3</span>) , no hi ha unicitat en la descomposició en irreductibles dins de ℤ[<span><span class="texhtml">i</span><span style="font-size:larger; letter-spacing:0px;">√</span><span style="border-top:1px solid black; padding:1px 0 0 3px">3</span></span>].
| |||