Filosofia de les matemàtiques: diferència entre les revisions

El problema d'aquesta correcció és que cal garantir que hi ha conjunts prèviament donats per a poder aplicar el nou criteri. Per tant, calen els axiomes necessaris que diuen que existeix el següent: un sol conjunt sense elements, que hi ha infinits conjunts, que es poden formar conjunts unint altres conjunts i que existeix un conjunt infinit.

 

 

Així doncs, des dels grecs, les matemàtiques han presentat l'aspecte axiomàtic demostratiu que les caracteritza. Recordem que Descartes feia del caràcter demostratiu de les matemàtiques la raó per separar-les dels sentits, de la percepció del món físic. La deducció, com una manera de demostració, també es dóna en les ciències empíriques, però hi té un paper diferent. En física, per exemple, es pot començar acceptant com a conceptes bàsics els obtinguts per observacions inexactes i com els seus primers principis les generalitzacions d'aquestes observacions. Però, ràpidament, el físic refina els seus conceptes i fa observacions més exactes. Procedeix a construir una teoria, tan precisa com siga possible i pot així fer complexes deduccions d'aquesta. Però, el propòsit científic de fer això és arribar a resultats que puguin ser posats a prova mitjançant una observació ulterior; si ocorre una refutació caldrà revisar la teoria. En canvi, en matemàtiques, l'objectiu dels raonaments deductius és establir directament la veritat de la conclusió obtinguda, establir la veritat del teorema. [[Imre Lakatos]] ha il·lustrat que un contraexemple convincent a un pretès teorema pot portar a la revisió dels axiomes d'una teoria. Però, en matemàtiques, com [[Ludwig Wittgenstein]] (1889-1951) va assenyalar, és suficient que el contraexemple siga descrit, mentre que en una teoria empírica s'ha de garantir que hi ha el contraexemple trobant-lo en el món físic (Dummett, 1998, p. 126).