Obre el menú principal

Canvis

m
Corregit: article de ''Acta > article d'''Acta
Cantor fou el primer a formular el que després es coneixeria com la [[Hipòtesi del Continu]] o CH: no hi ha cap conjunt la cardinalitat del qual sigui més gran que la del conjunt dels nombres naturals i a la vegada més petita que la del conjunt dels nombres reals (o equivalentment, la cardinalitat del conjunt dels nombres reals és ''exactament'' \aleph-one, en lloc de ''almenys'' \aleph-one). La incapacitat de demostrar la Hipòtesi del Continu va causar a Cantor ansietat considerable, però retrospectivament és perfectament comprensible: un resultat de [[Gödel]] del [[1940]] i un resultat de [[Paul Cohen (mathematician)|Paul Cohen]] del [[1963]] mostren els dos junts, que no es pot demostrar la Hipòtesi del Continu ni la seva negació en la teoria estàndard de la teoria de conjunts de [[Ernst Zermelo|Zermelo]]-[[Abraham Fraenkel|Fraenkel]] més l'[[Axioma de l'elecció]] ([[ZFC]]).<ref>Alguns matemàtics consideren que amb aquests resultats la qüestió queda totalment resolta, i que com a molt permet que sigui possible examinar les conseqüències formals de CH i de la seva negació, o d'algun axioma que implica algun d'aquests. Altres matemàtics continuen buscant axiomes "naturals" o "plausibles" que, una vegada afegits a ZFC, permetin demostrar o refutar CH, o que donin proves directes en o en contra de CH; entre els més destacats matemàtics que treballen en aquest sentit trobem [[W. Hugh Woodin]].</ref>
 
El [[1882]], la rica correspondència matemàtica que hi havia hagut entre Cantor i Dedekind va acabar-se. Cantor començà una interessant correspondència amb [[Mittag-Leffler]] de Suïssa, i aviat va començar a publicar a la revista de Mittag-Leffler ''Acta Mathematica''. Però el 1885, [[Mittag-Leffler]] va demanar a Cantor que retirés un article de d'''Acta'' mentre l'estava revisant, escrivint que "... about one hundred years too soon." Cantor accedí, però va escriure a un tercer :<blockquote>"Had Mittag-Leffler had his way, I should have to wait until the year 1984, which to me seemed too great a demand! ... But of course I never want to know anything again about ''Acta Mathematica''."</blockquote> Així va finalitzar la seva correspondència amb Mittag-Leffler, com ho havia fet el brillant desenvolupament de Cantor sobre la teoria de conjunts els 12 anys precedents. Mittag-Leffler tenia bones intencions, però aquest incident revela com fins i tot els més brillants contemporanis de Cantor sovint no foren capaços d'apreciar el seu treball.
 
El [[1895]] i el [[1897]], Cantor va publicar un article en dues parts a ''[[Mathematische Annalen]]'' amb [[Felix Klein]] coma editor; aquests van ser els seus darrers articles significatius en teoria de conjunts. (La traducció anglesa és Cantor [[1955]].) El primer article comença definint el que és un [[conjunt]], [[subconjunt]], etc., en termes semblants als d'avui en dia. Els conceptes d'aritmètica [[nombre cardinal|cardinal]] i [[nombre ordinal|ordinal]] són revisats. Cantor volia incloure en el segon article una demostració de la [[Hipòtesi del continu]], però hagué de conformar-se exposant la seva teoria dels [[conjunt ben-ordenable|conjunts ben-ordenables]] i els [[nombre ordinal|nombres ordinals]]. Cantor intentà demostrar que si ''A'' i''B'' són conjunts amb ''A'' equipotent a un subconjunt de ''B'' i ''B'' és equipotent a un subconjunt de ''A'', aleshores ''A'' i ''B'' són equipotents. [[Ernst Schroeder]] havia volgut demostrar aquest teorema una mica abans, però la seva demostració, com la de Cantor, tenia defectes. [[Felix Bernstein]] va proporcionar una demostració correcta l'any [[1898]]en la seva tesi de doctorat; d'aquí el nom del [[teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein]].
1.120.671

modificacions