Diferència entre revisions de la pàgina «Relativitat especial»

LanguageTool: correccions ortogràfiques i gramaticals
m (Corregit: longitud del objecte. A > longitud de l'objecte. A)
(LanguageTool: correccions ortogràfiques i gramaticals)
 
== Motivació de la teoria ==
A començaments del [[segle XIX]] les [[lleis de Newton]] tenien un ampli reconeixement. Aquest reconeixement es va acabar de consolidar amb el descobriment del planeta [[Neptú (planeta)|Neptú]]. El planeta [[Urà (planeta)|Urà]] semblava que no seguia l'òrbita exacta que preveien les lleis de Newton, llavors [[Francesc Aragó]] va suggerir al seu alumne [[Le Verrier]] que fes els càlculs de quina òrbita hauria de tenir un hipotechipotetic planeta que provoqués les alteracions observades en l'òrbita d'Urà. Els astronomsastrònoms van enfocar els telescopis a la posició del cel on segons els càlculs de Leverrier hi havia d'haver el nou planeta i efectivament van descobrir UráUrà.
 
No obstant això s'estaven gestant altres observacions que feien pensar que les lleis de Newton no eren del tot correctes.
 
De fet, si dues càrregues elèctriques romanen immòbils entre si i l'observador, aquest només hauria d'observar la força calculada segons la llei de l'electrostàtica:
[[Fitxer:AtractionTwoWires.svg|thumb|Dos cables pels quequals circula un corrent elèctric experimenten una força d'atracció que es pot interpretar com deguda als camps magnètics que crea el corrent elèctric]].
:<math>\overset{\to }{\mathop{F}}\,_{e}=\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\frac{Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}\frac{\overset{\to }{\mathop{r}}\,}{r}</math>
 
:<math>\overset{\to }{\mathop{F}}\,=\frac{Q_{2}Q_{1}}{4\pi r^{2}}\left( \frac{\mu _{0}\overset{\to }{\mathop{v}}\,\times \overset{\to }{\mathop{r}}\,}{r}+\frac{\overset{\to }{\mathop{r}}\,}{\varepsilon _{0}r} \right)</math>
 
Però això és independent de si la velocitat relativa entre les càrregues i l'observador s'ha produït perquè les càrregues s'han posat en moviment o perquè s'ha accelerat l'observador. Un observador pot començar l'experiment mesurant la força entre dues càrregues en repòs ala terra, pujar ell a un vagó de tren i en posar-se en marxa el tren, veure com la força entre les càrregues varia.
 
La força magnètica comparada amb la força electrostàtica és extraordinàriament petita:
:<math>\mu _{0}\varepsilon _{0}=4\pi \cdot 10^{-7}\cdot 8,8542\cdot 10^{-12}\approx 11,1265\cdot 10^{-18}=\frac{1}{\left( 299,792\cdot 10^{6} \right)^{2}}\approx \frac{1}{c^{2}}</math>
 
Perquè aquesta força sigui apreciable cal que, o bé la velocitat sigui molt gran, o bé que les forces electrostàtiques siguin molt grans i es cancel·lin de forma que només s'apreciiapreciï la força magnètica. Això és el que passa en el cas de fils conductors del corrent, els fils tenen càrregues positives i negatives que es cancel·len les forces electrostàtiques i només restan les forces magnètiques entre els portadors en moviment respecte de l'observador.
 
=== L'experiment de Francesc Aragó de 1810 ===
En aquest experiment Aragó no mesura directament la velocitat de la llum sinó que ho fa indirectament a partir de l'índex de refracció. Això fa que hi hagi una possible explicació que permeti conciliar aquest resultat amb les lleis de Newton, Aragó diu:
 
{{Cita|Sembla fins i tot que no se'n pot donar raó més que suposant que els cossos lluminosos emeten raigs amb tota mena de velocitats, amb la condició que s'admeti igualment que aquests raigs no són visibles més que quan les seves velocitats estan compreses entre uns límits determinats: sota questesaquestes hipòtesis, en efecte, la visibilitat dels raigs dependrà de les seves velocitats relatives, i, com que aquestes velocitats determinen la quantitat de refracció, els raigs visibles seran sempre igualment refractats|Francesc Aragó}}
L'única forma de resoldre la qüestió era la mesura directa de la velocitat de la llum. Aragó va definir els principis generals del sistema per mesurar directament la velocitat de la llum però els seus problemes de visió li impediren participar en els experiments.
 
Finalment [[Fizeau]] va mesurar-la directament el [[1849]],<ref>Fizeau, H. L., «Sur une experience relative a la vitesse de propogationpropagation de la lumiere», ''Comptes Rendus'' 29, 90-92, 132, 1849</ref> més tard [[Léon Foucault]] el [[1862]]<ref>Foucault, J. L., «Determination experimentale de la vitesse de la lumiere: parallaxe du Soleil», a ''Comptes Rendus'' 55, 501-503, 792-796, 1862</ref> i [[Albert Abraham Michelson]] el [[1878]]<ref>Michelson, A. A., «Experimental Determination of the Velocity of Light», ''Proceedings of the American Association for the Advancement of Science'' 27, 71-77, 1878</ref>
 
Les mesures experimentals tenien cada cop més precisió i sempre donaven el mateix resultat de l'experiment d'Aragó del 1810: La velocitat de la llum era constant i independent de la velocitat relativa entre l'emissor i el receptor.
Abans de la formulació de la teoria especial de la relativitat, [[Hendrik Antoon Lorentz|Hendrik Lorentz]] i uns altres ja havien descobert que l'electromagnetisme diferia de la física newtoniana que les observacions d'un fenomen podrien diferir d'una persona a una altra que estigués movent-se relativament a la primera a velocitats pròximes a les de la llum. Així, una pot observar la inexistència d'un [[camp magnètic]] mentre l'altra l'observa amb claredat en el mateix espai físic.
 
Lorentz va suggerir una [[teoria de l'èter]] en la qual objectes i observadors viatjarien a través d'un [[èter (física)|èter]] estacionari, sofrint un escurçament físic (hipòtesi de [[contracció de Lorentz]]) i un canvi en el pas del temps ([[dilatació del temps]]). Lorentz estava motivat pels resultats negatius del moviment relatiu de la llum pel que fa a l'èter proporcionats uns anys abans pel cèlebre [[experiment de Michelson-Morley]]. L'explicació de Lorentz subministrava una reconciliació parcial entre la física newtoniana i l'electromagnetisme, que es conjugaven aplicant la [[transformació de Lorentz]], que vindria a substituir a la [[transformació de Galileu]] vigent en el sistema newtonià. La formulació de l'electromagnetisme enfront de les transformacions de Lorentz va anar també estudiada pel físic francès [[Henri Poincaré]]. Quan les velocitats involucrades són molt menors que '''''c''''' (la velocitat de la llum), les lleis resultants són en la pràctica les mateixes que en la teoria de Newton, i les transformacions es reduïxenredueixen a les de Galileu. En qualsevol cas, la teoria de l'èter va ser criticada fins i tot pel mateix Lorentz, degut a causa de la seva naturalesa.
 
Lorentz va suggerir la seva transformació com una descripció matemàtica precisa dels resultats dels experiments.
 
Einstein a més d'obtenir les mateixes equacions imposant la constància de la velocitat de la llum per a tots els observadors, va interpretar el significat de la transformació imposant la condició addicional que aplicant aquesta transformació en comptes de la de [[Galileo Galilei|Galileu]] les lleis de la física havien de ser independents de la velocitat relativa entre els observadors (invariants en diferents [[sistema de referència inercial|sistemes inercials]], és a dir, per a diferents observadors). D'aquesta idea va sorgir el títol original de la teoria, "Teoria dels invariables". Va ser [[Max Planck]] qui va suggerir posteriorment el terme "relativitat" per a ressaltar la noció de transformació de les lleis de la física entre observadors movent-se relativament entre si. El fet d'imposar la condició que les lleis de la física siguin invariants obliga en alguns casos a reformular algunes lleis, i en altres certes magnituds han de patir transformacions de l'estil com passa amb la posició i la duració. Per exemple la velocitat i la massa d'un objecte són magnituds que no donen el mateix valor si les mesura un observador o si les mesura un altre que es mou amb determinada velocitat relativa respecte del primer, lleis com la dels camps magnètics apareixen de forma natural aplicant la transformació relativista a la força delsdel camp electrostàtic i apareixen altres fenòmens nous, per exemple, qualsevol força s'ha de transformar igual que una força electrostàtica per tant hi ha un equivalent "magnètic" de qualsevol tipus de força, l'energia cinètica relativista no és igual a l'energia cinètica clàssica etc.
 
La relativitat especial estudia el comportament d'objectes i observadors que romanen en repòs o es mouen amb moviment uniforme (i.e., velocitat relativa constant). En aquest cas, es diu que l'observador està en un [[sistema de referència inercial]]. La comparació d'espais i temps entre observadors inercials pot ser realitzada usant les transformacions de *Lorentz. La teoria especial de la relativitat pot predir així mateix el comportament de cossos accelerats quan aquesta acceleració no impliqui forces gravitatòries, en aquest cas és necessària la [[relativitat general]].
\end{align}</math>
 
Però per entendre la teoria de la relativitat és preferible deduir aquesta transformació a partir de principis més elementals. El problema consisteix ena trobar dues funcions que permetin calcular les mesures que otindràobtindrà l'observador ''O''<sub>2</sub> a partir de les mesures fetes per l'observador ''O''<sub>1</sub>:
 
:<math>\begin{align}
# A l'espai no hi ha direccions privilegiades: Si l'observador ''O''<sub>1</sub> es mou amb velocitat -''v'' el resultat és el mateix que si es mou amb velocitat ''v''.
 
D'aquestaaquests quatre principis es dedueix que les funcions de transformació han de ser de la forma:
 
:<math>\left( \begin{matrix}
:<math>\left[ a\left( v \right) \right]^{2}-v\cdot a\left( v \right)\cdot d\left( v \right)=1</math>
 
Per tant, no queda completament determinat. Hi ha moltes solucions possibles, una és: ''a''(''v'') = 1; ''d''(''v'') = 0, que condieixcondueix a la transformació de Galileu:
 
:<math>\left( \begin{matrix}
\end{align}</math>
 
Només cal posar un a continuació de l'altre en línia recta, ''x''<sub>1</sub> objectes de longitud 1 i al lloc on s'acaba l'últim objecte, un després de l'altre en el temps, ''t''<sub>1</sub> objectes de durada 1. Un cop fet això s'aplica el '''principi 1''' als primers dos objectes, després ala l'objecte resultat de considerar units els dos primers i el tercer i així successivament fins a l'últim.
 
Aquesta expressió es pot escriure de forma matricial:
Si la longitud ''x''<sub>1</sub> i la durada ''t''<sub>1</sub> no són nombres enters, el resultat és el mateix. Es pot demostrar de moltes maneres, però la més natural és fixant-se que les unitats de mesura es poden triar prou petites perquè l'error d'arrodonir a nombres enters sigui completament inapreciable.
 
Si es considera objecte de longitud zero (un punt) fix a l'origen de ''O''<sub>1</sub>, per a l'observador ''O''<sub>1</sub> aquest objecte romandrà sempre a ''x''<sub>1</sub> = 0. Per tant per ala l'observador ''O''<sub>2</sub> ha de ser:
 
:<math>\begin{align}
I substituint a la primera queda:
:<math>D\cdot a\left( v \right)=a\left( -v \right)</math>
Però pel '''principi 4''' la transformació d’una distància o d’una durada ha de ser la mateixa per a v que per a –v altrament hi hauria una direcció que donaria unaun resultat diferent que l’altre, hi hauria una direcció privilegiada. Per tant ha de ser:
:<math>\begin{align}
a\left( v \right)&=a\left( v \right) \\
=== La transformació de Lorentz ===
[[Fitxer:Hendrik Antoon Lorentz.jpg|thumb|[[Hendrik Antoon Lorentz]] 1916.]]
La transformació de [[Hendrik Lorentz|Lorentz]] resulta de forma natural d'acceptar elsel resultat verificat pels diversos experiments començant pel de [[Francesc Aragó]] de 1810 de quèque la velocitat de la llum és sempre la mateixa per a tots els observadors.
 
Aquest és el principi fonamental que mancava per acabar de determinar la fórmula que ha de permetre calcular les mesures que farà l'observador ''O''<sub>2</sub> a partir de les que ha fet l'observador ''O''<sub>1</sub> i que en la transformació de Galileu s'havia obtingut de forma arbitrària.
Fixeu-vos que el factor de Lorentz a velocitats petites creix molt a poc a poc, per exemple, per a velocitats més petites de 30.000&nbsp;km/s, és a dir 108.000.000&nbsp;km/h o un 10% de la velocitat de la llum, el factor és més petit d'1,005 és a dir un 0,5% més gran que 1.
 
A l'esquerra es presenta la representació gràfica de la funció que a cada fracció de la velocitat de la llum li fa correspondre el seu factor de Lorentz on es pot apreciar que al començament creix molt lentament i és al final, entre el 90% i el 100% de ''c'' quantquan el pendent creix ràpidament i la funció tendeix a infinit.
 
{{Caixa desplegable|títol=Demostració|contingut=
\end{align}</math>
 
S'ha deixat només el signe positiu perquè els signes dels eixos de coordenades en els dos sistemes de referència es poden triar de forma que si el signe de la velocitat esés positiu, no canviï el signe de la posició alen passar de les mesures d'un observador a les de l'altre.
 
Substituint al valor de ''d''(''v'') que s’ha trobat abans queda:
== Contracció de l'espai i dilatació del temps ==
 
La primera conseqüència d'interpretar la [[transformació de Lorentz]] com la fórmula que permet determinar el que mesurarà un observador a partir del que ha mesurat un altre que es mou a velocitat constant respecte del primer, és que la durada dels fets i la longitud dels objectes no és una constant independent de la velocitat relativa entre l'objecte i l'observador. Això porta a que el concepte de simultaneïtat s'hagi de revisar, dos fets que per un determinat observador succeïxensucceeixen simultàniament per un altre no (tret que també succeeixin exactament en el mateix punt de l'espai). També porta a que, perquè es compleixi el principi de causalitat, cal imposar un límit a la velocitat màxima a la quequal es poden desplaçar els senyals i en conseqüència a la velocitat màxima a quequè es pot desplaçar qualsevol cosa. Aquest límit és la velocitat de la llum.
 
=== Contracció de l'espai ===
\end{align}</math>
}}
Com que l'observador ''O'' <sub>1</sub> és solidari a l'objecte, la mesura ''l'' que obté, s'anomena la longitud pròpia de l'objecte: Δ''x''<sub>1</sub> = ''l'', anomenant ''l' '' la longitud que s'obté mesurant l'objecte quantquan es mou a velocitat ''v'', resulta que ''l' '' = Δ''x''<sub>2</sub> i
 
:<math>l'=\frac{l}{\gamma }</math>
Si la teoria de la relativitat és correcte, aquesta contracció no és un efecte aparent pel fet de mesurar l'objecte mentre es mou, sinó que és un fenomen real. D'acord amb la interpretació que va fer Einstein de la transformació de Lorentz, qualsevol llei de la física aplicada a qualsevol objecte es compleix agafant ''l' '' en lloc de ''l'' pel que fa a la longitud de l'objecte.
 
A l'animació de la dreta es representa la l'aparent paradoxa anomenada del tren i el túnel. Si el tren i el túnel en repòs tenen exactament la mateixa longitud, un observador situat a la l'andana del túnel quan veu que el tren es mou mesura una longitud més petita que la de la l'andana. En canvi un observador situat al tren, com que veu que el túnel es mou, mesura una longitud més curta que la del tren. Això no és cap dificultat, tots els experiments que es facin en moviment donaran com a resultat que tots dos tenen raó. Per exemple, des dels dos extrems de la l'andana es poden tirar dos objectes al mateix temps (temps mesurat des de la l'andana) cap a l'altra banda del túnel mentre el tren està passant sense tocar-lo. Des dels dos extrems del tren es poden tirar fora al mateix temps (temps mesurat des del tren) dos objectes mentre està travessant el túnel, sense que cap dels dos caigui dins del túnel.
 
La resolució d'aquesta aparent paradoxa prové del fet que els fets que per a un observador són simultanis, en relativitat, no ho són per a un altre. Llavors cada un, en observar els llançaments d'objectes que ha fet l'altre, els observa en instants de temps que no són simultanis. Vegeu [[#Simultaneïtat|simultaneïtat]].
 
=== Dilatació del temps ===
:<math>\Delta t_{2}=\gamma \cdot \Delta t_{1}</math>
 
Com que ∆''t''<sub>1</sub> és la durada eldel fenomen mesurada per un observador que no es mou respecte del sistema on es produeix el fenomen, d'aquesta durada se'n diu el ''temps propi'' del fenomen. Com que si 0 < ''v'' < ''c'' llavors γ és més gran que 1 (vegeu [[#Contracció de l'espai|Contracció de l'espai]]) Qualsevol observador en moviment respecte del sistema on es produeix el fenomen (a una velocitat més petita que ''c'') observarà que el fenomen té una durada més gran que el seu temps propi, per això d'aquest fet se'n diu [[dilatació temporal]].
 
Aquest resultat s'ha pogut posar a prova amb l'[[experiment de Rossi-Hall]] en què es mesura la [[vida mitjana]] dels [[muó|muons]]. La vida mitjana mesurada quan els muons es mouen a diferents velocitats respecte del laboratori s'allarga d'acord amb la dilatació del temps prevista en la teoria.
 
=== Transformació d'una velocitat ===
La contracció de l'espai i la dilatació del temps porta de forma natural a analitzar com es transforma una velocitat, és a dir, si un objecte es desplaça a una velocitat ''v''<sub>1</sub> en la direcció de l'eix ''x'' respecte de l'observador ''O''<sub>1</sub>, a quina velocitat es depslaçadesplaça respecte de l'observador ''O''<sub>2</sub>.
 
El resultat s'obté expressant l'espai recorregut i el temps que tarda ena recórrer-lo mesurats per l'observador ''O''<sub>2</sub> en funció dels mesurats per l'observador ''O''<sub>1</sub> i dividint.
 
Pel que fa a la component de la velocitat sobre l'eix ''x'' (l'eix de la velocitat relativa als dos observadors s'obté:
:<math>\Delta t_{1}=\frac{-v}{c^2}\Delta x_{1}</math>
 
Que representant l'espai-temps en un sistema de coordenades cartesianes és una recta amb un pendent de -''v''/''c''. Per tant, diversos fenòmens poden ser simultanis o no per un observador depenent si estan damunt d'aquesta recta o no.
 
=== Causalitat. Velocitat màxima dels senyals ===
:<math>0<\frac{v}{c^{2}}\Delta x_{1}+\Delta t_{1}</math>
 
On ''v'' és la velocitat relativa de l'observador ''O''<sub>1</sub> respecte de l'observador ''O''<sub>2</sub>, per l'observador ''O''<sub>1</sub>, el senyal que va des de la causa fins a l'efecte ha de recorrerecórrer una distància ''x''<sub>1</sub> en un temps ''t''<sub>1</sub>, per tant anomenant ''v''<sub>s</sub> la velocitat del senyal mesurada per l'observador ''O''<sub>1</sub>, dividint els dos cantons de la inequació entre ∆''t''<sub>1</sub>, s'obté:
 
:<math>\begin{align}
 
== Altres resultats de la relativitat especial ==
Aplicant sistemàticament el concepte de què les lleis de la [[física]] són les mateixes per a tots els observadors, la teoria de la relativitat especial porta a la conclusió de què altres magnituds físiques com la [[massa]], la [[quantitat de moviment]] i la [[força (física)|força]] també s'han de transformar alen ser mesurades per observadors que es mouen a velocitat constant entre ells. Això permet una interpretació clara de les forces [[magnetisme|magnètiques]] i per tant, permet el desenvolupament de l'[[electromagnetisme]] directament a partir de l'[[electrostàtica]].
 
Un resultat de l'electromagnetisme (i per tant es pot considerar resultat de la teoria de la relativitat especial) és que les [[ones electromagnètiques]] exerceixen una pressió sobre els cossos que les emeten o les absorbeixen. Aquest resultat era un resultat obtingut a partir de les [[lleis de Maxwell]] abans del desenvolupament de la teoria de la relativitat. [[Albert Einstein|Einstein]] va fer servir aquest resultat per arribar a la conclusió que els objectes en emetre o absorbir ones electromagnètiques perden o guanyen massa respectivament i que les ones electromagnètiques emeses o absorbides són les que tenen questaaquesta massa perduda o guanyada pels cossos en emetre-les o absorbir-les. A partir d'aquesta conclusió postula l'equivalència entre la massa i l'energia.
 
=== Transformació de la massa ===
}}
[[Fitxer:Mass transformation in special relativity.PNG|thumb|400px|Dos objectes iguals pateixen un xoc inelàstic. L'observador ''O''<sub>1</sub> és solidari al centre de masses dels dos objectes. L'Observador ''O''<sub>2</sub> abans del xoc es desplaça conjuntament amb un dels objectes.]]
El problema de determinar com es transforma la massa es redueix al problema de transformació de velocitats si es pot trobar un experiment de xoc inelàstic en el quequè les velocitats abans i després del xoc siguin conegudes i la massa dels dos objectes sigui la mateixa si la mesura un observador en repòs respecte de cada un dels objectes.
 
A la figura de la dreta es presenta un experiment en el quequè dues masses iguals xoquen.
 
L'observador ''O''<sub>1</sub> roman fix al centre de masses dels dos objectes. Les mesures de velocitats que fa s'han representat amb vectors de color verd. Per ell abans del xoc l'objecte de l'esquerra igual com l'observador ''O''<sub>2</sub> es mouen a velocitat ''v'' mentre que l'objecte de la dreta es mou a velocitat -''v''. Després del xoc tots dos objectes queden junts i amb velocitat zero.
 
{{Caixa desplegable|títol=Demostració|contingut=
La primera part es tracta d'aillaraïllar ''v''<sub>f</sub> de l'equació que expressa ''v''<sub>i</sub> en funció de ''v''<sub>f</sub>:
 
:<math>\begin{align}
 
=== Transformació de la força. Força magnètica ===
La segona [[Lleis de Newton|llei de Newton]] diu que la variació de la [[quantitat de moviment]] d'un cos és proporcional a la [[força]] aplicada (en paraules de Newton: doblada en produirà el doble i triplicada en produirà el triple) i al temps durant el qual s'aplica aquesta força (en paraules de Newton: tant si s'aplica d'un sol cop com si s'aplica gradualgradualment i progressivament).<ref>Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, Isaac Newton, Londres, 1687. Axiomes o lleis del moviment. Llei II.</ref> En notació algebraica moderna això s'expressa amb la fórmula:
 
:<math>F\cdot \Delta t=\Delta \left( m\cdot v \right)</math>
 
Com que en teoria de la relativitat la massa i la velocitat depenen de la velocitat relativa entre els observadors, per tal que es continuícontinuï complint per a tots ells la segona llei de Newton, cal imposar que la força es transformi de forma adequada. De fet és el mateix que considerar que la segona llei de Newton és la definició de la magnitud d'una força. El fet de mesurar l'augment de la quantitat de moviment que provoca durant un temps és la forma de mesurar la magnitud de la força. El fet que la llei de Newton sigui quelcom que va més enllà d'una mera definició apareix alen considerar que la força es produeix per una causa (per exemple la posició en un determinat punt d'un camp provocat per una massa gravitatòria o la deformació d'un objecte elàstic) Una manera de duplicar la força és duplicar l'efecte o fer-lo actuar durant el doble del temps, la llei diu que la força que es mesurarà fent això serà el doble.
 
Llavors per mesurar una força es pot realitzar un experiment que consisteix ena aplicar-la a un objecte durant un temps, mesurar el temps durant el qual s'ha aplicat, mesurar l'augment de quantitat de moviment que ha provocat i obtenir el valor de la magnitud de la força amb la següent equació:
 
:<math>F=\frac{\Delta \left( m\cdot v \right)}{\Delta t}</math>
 
Aplicant aquesta equació a la quantitat de moviment i al temps mesurats per dos observadors s'obté com es veu transformada la força en seser mesurada per observadors que es mouen amb una velocitat relativa ''v'' contant entre ells. Com que la quantitat de moviment té una transformació diferent si es tracta de la component paral·lela a la velocitat relativa entre els observadors i un altre si es tracta de la component perpendicular, en el cas de la força s'obtindrà resultats diferents en aquestes dues direccions:
 
:<math>F_{2x}=F_{1x}+F_{1y}\cdot v_{1y}\cdot \frac{v}{v\cdot v_{1x}+c^{2}}</math>
 
{{Caixa desplegable|títol=Demostració|contingut=
En el cas de la component de la força parlparal·lela a la velocitat relativa entre els observadors es té:
 
:<math>F_{2x}=\frac{\Delta \left( p_{2x} \right)}{\Delta t_{2}}</math>
Einstein planteja un cos en repòs amb massa ''M''. Si el cos s'observa en un sistema de referència que es mou amb una velocitat ''v'' petita, ja no està en repòs i en aquest sistema de referència té una quantitat de moviment ''Mv''.
 
Einstein suposa que el cos emet dos polsos de llum un cap a l'esquerra i l'altre cap a la dreta, cada un porta una quantitat d'energia igual a ''E''/2. Com que els dos polsos són iguals, l'objecte roman en repòs després de l'emissió, ja que rep el mateix impuls pels dos cantons.
 
Però si el mateix procés s'observa en un sistema de referència que es mou amb velocitat ''v'' cap a l'esquerra, el pols que es mou a l'esquerra es desplaçarà cap al vermell mentre que el pols es mou cap a la dreta es desplaçarà cap al blau. El llum blau transmet més impuls que el vermell, de manera que l'impuls del llum al sistema de referència en moviment no està equilibrat. El llum està transmetent un impuls net cap a la dreta.
 
L'objecte no ha canviat la seva velocitat abans o després de l'emissió. Encara que en aquest sistema de referència ha perdut part de la seva quantitat de moviment cap a la dreta a causa delde l'impuls aplicat per la llum. L'única manera que pot perdre quantitat de moviment és perdent massa.
 
La velocitat és petita, per tant la llum que es mou cap a la dreta es desplaça cap al blau una quantitat igual al [[efecte Doppler]] no relativista (1&nbsp;-&nbsp;''v''/''c''). L'impuls de la llum és la seva energia es dividia per ''c'', i augmenta en un factor de ''v''/''c''. Així la llum que es mou cap a la dreta transporta un impuls extra <math>\Delta P</math> donat per:
Per tant la variació de la massa de l'objecte és igual a l'energia total perduda dividida entre <math>c^2</math>. Com que qualsevol emissió d'energia es pot dur a terme en un procés en dos passos, primer l'energia s'emet en forma de llum i després la llum es transforma en qualsevol altra forma d'energia, qualsevol emissió d'energia ha de comportar una disminució de la massa. De forma similar qualsevol absorció d'energia ha d'anar acompanyada d'un augment de la massa. Einstein conclou que la massa d'un cos és una mesura del seu contingut d'energia.
 
Fixeu-vos que el fet de considerar la velocitat petita no treu exactitud al raonament, de fet es pot considerar [[infinitesimal]], amb lola quequal cosa el resultat és exacte, llavors els processos es poden considerar decomposts en infinits subprocessos infinitesimals. Fixeu-vos també que en aquest resultat no s'ha emprat per a res la teoria de la relativitat de forma directa. En considerar la velocitat petita es fan servir les fórmules sense relativitat. Però indirectament és una conseqüència de la teoria de la relativitat en la mesura que
l'electromagnetisme se'n deriva de forma natural i per tant l'impuls provocat pels polsos de llum.
 
== Espai de Minkowski ==
{{Principal|Espai de Minkowski}}
[[Fitxer:light_cone.png|thumb| Espai de Minkowski, només es representen dues dimensions de l'espai elen el temps,. elEl conus blau representa el conjunt de punts que estan a distància 0 de l'origen.]]
 
La [[transformació de Lorentz]] permet calcular la posició i el temps en què un observador detecta un fet puntual a partir de les dades de la posició i el temps en què ha detectat aquest mateix fet puntual un altre observador. Aquesta transformació, per cada velocitat relativa entre els dos observadors és una aplicació lineal. L'expressió matemàtica que adopta aquesta aplicació lineal és la següent:
Fixeu-vos que a l'espai de Minkowski els punts es poden identificar amb objectes de dimensió molt petita i de durada molt petita. Això és una diferència molt gran amb els punts de l'espai euclidià en què els punts es poden identificar amb objectes de dimensió molt petita però de durada infinita.
 
Les distàncies en aquest espai poden ser positives, zero o imaginaries. En l'espai euclidià, els si dos punts estan a distància zero són el mateix. En l'espai de Minkowski si dos punts estan a distància zero, en cert sentit estan a tocar (encara que estiguin separats milions de kilòmetres) però no tenen perquèper què ser el mateix.
 
El con de la figura representa l'univers per a un observador en el punt A. El punt C està a una ''distància'' positiva, per arribar-hi caldria una velocitat superior a la de la llum, locosa que, en el context d'aquesta teoria no és realitzable. És doncs inobservable i no pot tenir cap influència directa o indirecta sobre l'observador. El punt B és en el que es diu el ''con de llum'', és un punt possible, podrà interaccionar amb l'observador (rebent senyals a la velocitat de la llum).
 
Els punts que estan a distància zero són aquells pels quequals pot passar un pols de llum. Des del punt de vista d'un observador que viatgi amb la llum, degut a causa de la contracció de l'espai, la distància entre aquests punts és zero. De certa manera la teoria de la relativitat resol l'antic problema delde l{{'}}''horror vacui'' i de les accions a distància i l'espai de Minkowski ho recull: Les accions a distància (en cert sentit) no existeixen, totes les accions (en aquest cert sentit) són de contacte. Si un [[electró]] d'un [[àtom]] a la superfície del [[Sol]] emet un [[fotó]] que viatja fins a la [[Terra]] i és absorbit per un altre electró d'un material [[semiconductor]] d'una [[placa solar]], des del punt de vista d'un observador fix a la Terra, una ona electromagnètica ha viatjat per l'espai buit durant un temps i ha estat absorbida per la placa de la Terra, des del punt de vista d'un observador que viatja amb la llum, l'electró de l'àtom de la superfície solar i el del semiconductor de la placa solar estan a distància zero i la interacció entre ells és instantània. En l'espai de Minkowski la distància esés zero per tots els observadors. Pel que està a la Terra és zero perquè de la distància que els separa en l'espai euclidià es resta el temps que els separa multiplicat per la velocitat de la llum (de fet, de la distància al quadrat li resta el temps al quadrat multiplicat per la velocitat de la llum al quadrat i després extreu l'arrel quadrada del resultat, però quan el resultat és zero tantant se val restar quadrats que valors). Pel que viatja amb la llum és zero perquè tant el temps com l'espai que els separa són zero.
 
Els punts que estan a distància positiva són tals que la llum que surt d'un no hi és a temps d'arribar a l'altre. La distància que els separa és més gran que la que pot recórrer la llum durant els temps que els separa. Per exemple, tots els punts de l'espai euclidià en el present per un observador determinat estan a la mateixa distància positiva en l'espai de Minkowski que en l'espai euclidià perquè per aquest observador el temps que els separa és zero. Per a un observador que es mou respecte d'aquest, la distància en l'espai euclidià és més gran però com que ja no són simultanis la diferència de temps compensa l'augment de distància en l'espai euclidià i la distància en l'espai de Minkwski es manté constant. Per a tots els parells de punts de l'espai de Minkowski que estiguin a distància positiva entre ells hi ha un sistema de referència en el que es troben en el mateix temps i en el que la seva distància en l'espai euclidià és igual a la distància en l'espai de Minkowski.
 
== Tests de postulats de la relativitat especial ==
* [[Experiment de Michelson-Morley|Experiment Michelson-Morley]] – arrossegament delde l'[[èter (física)|èter]].
* Experimento Hamar – obstrucció del flux delde l'[[èter (física)|èter]].
* [[Experiment Trouton-Noble]] - torque{{què}} en un condensador produït per l'arrossegament delde l'[[èter (física)|èter]].
* [[Experiment Kennedy-Thorndike]] – contracció del temps.
* Experiment sobre les formes d'emissió.
1.133.152

modificacions