Problema d'Apol·loni: diferència entre les revisions

Contingut suprimit Contingut afegit
m Corregit: voltant de 1,3 > voltant d'1,3
m Corregit: - mètode de Apol·loni. + mètode d'Apol·loni.
Línia 3:
En [[geometria euclidiana|geometria plana euclidiana]], el '''problema d'Apol·loni''' consisteix a construir [[circumferències]] que siguin [[tangents]] a tres circumferències donades en el pla. [[Apol·loni de Perge]] (ca. 262 {{nowrap|BC – ca.}} 190 BC) proposà i resolgué aquest problema famós a l'obra {{lang|el| Ἐπαφαί}} (''{{lang|el-Latn|Epaphaí}}'', "Tangències"); l'obra s'ha perdut, però s'ha conservat una referència dels resultats feta el segle IV per [[Pappos d'Alexandria]]. Tres circumferències donades tenen generalment vuit circumferències diferents que hi són tangents i cada solució conté o deixa de contenir les tres circumferències donades d'una manera diferent.
 
Al segle XVI, [[Adriaan van Roomen]] resolgué el problema utilitzant [[hipèrboles]] secants, però aquesta solució no es basa únicament en construccions amb [[construcció amb regle i compàs|regle i compàs]]. [[François Viète]] trobà una solució aprofitant la simplificació dels casos extrems: qualsevol de les tres circumferències donades es pot reduir fins a tenir un [[radi (geometria)|radi]] nul (un [[punt (geometria)|punt]]) o ampliar fins que tingui un radi infinit (una [[recta]]). L'enfocament de Viète, que utilitza casos extrems senzills per resoldre'n d'altres més complicats, es considera una reconstrucció plausible del mètode de d'Apol·loni. El mètode de van Roomen fou simplificat per [[Isaac Newton]], que mostrà que el problema d'Apol·loni és equivalent a trobar una posició coneixent les diferències de distàncies a tres punts coneguts. Això té aplicacions en navegació i en sistemes de posicionament com el [[LORAN]].
 
Matemàtics posteriors introduïren [[àlgebra|mètodes algebraics]], que transformen el problema geomètric en una [[equació algebraica]]. Aquests mètodes es van simplificar aprofitant les [[simetries]] inherents al problema d'Apol·loni: per exemple, les circumferències resolutòries solen trobar-se en parelles, amb una que conté les circumferències donades que l'altra no conté. [[Joseph Diez Gergonne]] aprofità aquesta simetria per trobar un elegant mètode per trobar les solucions amb regle i compàs, mentre que altres matemàtics utilitzaren [[transformació geomètrica|transformacions geomètriques]] com la [[reflexió (matemàtiques)|reflexió]] en una circumferència per simplificar la disposició de les circumferències donades. Aquests desenvolupaments ofereixen una representació geomètrica a través de mètodes algebraics (utilitzant la [[geometria de l'esfera de Lie]]) i una classificació de solucions per les 33 disposicions essencialment diferents possibles en la posició inicial de les tres circumferències.