Llei de Wien: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Robot estandarditza i catalanitza referències, catalanitza dates i fa altres canvis menors |
Cap resum de modificació |
||
Línia 1:
[[Fitxer: Wiens law.svg|thumb|Llei de Wien]]
La '''
que hi ha una relació inversa entre la longitud d'ona en què es produeix el pic d'emissió d'un [[cos negre]] i la seva [[temperatura]].
: <math>\lambda_\mbox{màx}=\frac{0,0028976\ \mbox{m}\cdot\mbox{K}}{T}</math>
Les conseqüències de la llei de Wien és que, com més gran sigui la temperatura d'un [[cos negre]], menor és la longitud d'ona en la qual emet. Per exemple, la temperatura de la fotosfera [[sol]]ar és de 5.780 K i el pic d'emissió es produeix a 475 nm = 4,75 · 10 <sup> -7 </sup> m. Com 1 [[angstrom]] 1 Å = 10 <sup> -10 </sup> [[metre|m]] = 10 <sup> -4 </sup> micres resulta que el màxim passa a 4.750 Å. Com el rang visible s'estén des de 4.000 Å a 7.400 Å, aquesta longitud d'ona cau dins de l'espectre visible, sent un to de verd. No obstant això, a causa de la [[
== Deducció de la
La constant c de Wien
Aquesta llei va ser formulada empíricament per [[Wilhelm Wien]]. No obstant això, avui es dedueix de la [[llei de Planck]] per a la radiació d'un [[cos negre]] de la
: <math> E (\lambda, T) ={C_1\over\lambda^5\cdot (e^{C_2\over\lambda\cdot T}-1)}={C_1\cdot\lambda^{-5}\over (i^{C_2\over\lambda\cdot T}-1)}</math>
: <math> C_1 = 8\pi hc = 4,99589\cdot 10^{-24}\ \mbox{J}\cdot\mbox{m}</math>
Línia 24:
: <math> C_2 ={hc\over k}= 1,4385\cdot 10^{-2}\ \mbox{m}\cdot\mbox{K}= 1,4385\cdot 10^4\ \mu\mbox{m}\cdot\mbox{K}</math>
Per trobar-ne el màxim, la derivada de la funció pel que fa a <math>\lambda </math> ha de ser zero.
: <math>{\partial (E (\lambda, T))\over\partial\lambda}= 0 </math>
N'hi ha prou amb utilitzar la [[Taula de derivades|regla de derivació]] del quocient i, com s'ha d'igualar a zero, el numerador de la derivada serà nul, és a dir:
: <math>\frac{C_2}{\lambda\cdot T}= 5\cdot (1-e^{-C_2\over\lambda\cdot T}) </math>
Si definim:
: <math> x\equiv{C_2\over\lambda T}</math>
llavors:
: <math>{x\over 1-e^{-x}}-5 = 0 </math>
Aquesta equació no es pot resoldre mitjançant funcions elementals. Com una solució exacta no és important, podem optar per solucions aproximades. Es pot trobar fàcilment un valor aproximat per a <math> x </math>:
Si x és gran, és que aproximadament <math> e^{-x}= 0\, </math>, així que x
Utilitzant el [[mètode de Newton]] o de la tangent:
Línia 48:
: <math>\lambda_{\max}\cdot T =\frac{C_2}{x}=\frac{1,4385\cdot 10^4}{4,965114231744276}= 2897,6\mu m K </math>
Així que la constant de Wien és <math> 2.897,6\mu m\cdot K </math>, per la qual cosa:
: <math>\lambda_{\max}\cdot T = 2897,6\mu m\cdot K </math>
| |||