Funció signe: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m →Propietats: Correcció LaTeX |
Robot estandarditza i catalanitza referències, catalanitza dates i fa altres canvis menors |
||
Línia 47:
* La funció signe és la derivada de la [[valor absolut|funció valor absolut]] en <math>\mathbb {R} \backslash \{ 0 \}</math>, és a dir
: <math> {d|x|\over dx}= \sgn (x) \qquad \forall x \neq 0 \,. </math>
* La funció signe és [[derivable]] amb [[derivada]] 0 per tot el seu domini excepte en el valor 0. No és derivable en 0 en el sentit ordinari de derivada, però sota una noció més general de derivada dins de la [[teoria de distribucions]], la derivada de la funció signe és dues vegades la [[funció delta de Dirac]],<ref name = Bracewell>{{
: <math> {d \ \sgn (x) \over dx}= 2 \delta (x) \,. </math>
: on <math> \delta (x) </math> és l'esmentada funcìó delta de Dirac.
Línia 96:
== Distribució signe ==
En el context de les [[Funció generalitzada|funcions generalitzades]] o distribucions, es pot definir la distribució signe <math> \varepsilon{ (x) } </math> tal que <math> { \varepsilon{(x)} } ^ {2} = 1 \quad \forall x \in \mathbb {R} </math>, per tant també en <math> x = 0 </math> (a diferència del que passa amb la funció signe, que pren valor <math> \sgn {(0)} = 0 </math>). La construcció d'aquesta funció signe generalitzada <math> \varepsilon{ (x) } </math> permet la construcció d'una [[Estructura algebraica|àlgebra]] de funcions generalitzades, però a costa de perdre la [[commutativitat]]. En particular, la funció sigma generalitzada <math> \varepsilon{ (x) } </math> anticommuta amb la [[funció delta de Dirac]]:<ref name = "Shirokov">{{
:<math>\varepsilon { (x) } \delta { (x) } + \delta { (x) } \varepsilon { (x) } = 0 ~ </math>.
Una altra contrapartida és que <math> \varepsilon{ (x) } </math> no pot avaluar-se en <math> x = 0 </math> mentre que la funció signe sí, amb <math> \sgn {(0)} = 0 </math>.
| |||