Funció bijectiva: diferència entre les revisions

O bé, ''f'' es bijectiva si és una correspondència tal que totstotes elsles elementsimatges deltenen conjuntuna origenantiimatge tenen imatgediferent, és a dir, és una ''' ([[funció injectiva]]) i al mateix temps tots els elements del conjunt imatge són imatge d’algund'algun element del conjunt origen, és a dir, és una ([[funció suprajectiva]]).

Per exemple, consideris la funció successor, definida a partir del conjunt dels [[Nombre enter|Enters]] de <math>\Z</math> en <math>\Z</math>, de forma que a cada enter ''x'' li fa correspondre l’enterl'enter successor(''x'') = x + 1. Un altre exemple pot ser la funció sumdif que a cada parella (''x'',''y'') de nombres reals els associa a la parella sumdif(''x'',''y'') = (''x''&nbsp;+&nbsp;''y'', ''x''&nbsp;&minus;&nbsp;''y'').

De una funció bijectiva també se’nse'n diu una '''[[permutació]]'''. Tot i que això es fa servir més habitualment quant ''X'' = ''Y''. El conjunt de totes les bijeccions de ''X'' en ''Y'' es denota com a ''X''<math>{}\leftrightarrow{}</math>''Y''.

Les funcions bijectives juguen un paper fonamental en moltes àrees de les matempatiquesmatemàtiques, per exemple en la definició de [[isomorfisme]]s (i conceptes relacionats com els [[homeomorfisme]]s i els [[difeomorfisme]]s), [[grup de permutacions]], [[aplicació projectiva]],i molts altres.

Si ''X'' i ''Y'' són conjunts [[conjunt finit|finits]], llavors hi ha una bijecció entre els dos conjunts ''X'' i ''Y'' [[si i només si]] ''X'' i ''Y'' tenen el mateix nombre d’elementsd'elements. De fet, en la [[teoria axiomàtica de conjunts]], això es pren com a la autèntica ''definició'' de "mateix nombre d’elementsd'elements", i generalitzant aquesta definició al cas de conjunts [[infinit]]s porta al concepte de [[nombre cardinal]], una forma de distingir les diferents grandàries dels [[conjunts infinits]].

* Si ''X'' és un conjunt, llavors les funcions bijectives de ''X'' en si mateix, juntament amb l’operaciól'operació de composició de funcions (^{<small>o</small>}), formen un [[grup (matemàtiques)|grup]], el [[grup simètric]] de ''X'', el qual es denota com a S(''X''), ''S''_''X'', o ''X''! (la última notació es llegeix "''X'' [[factorial]]").

*Com a mínim per a qualsevol conjunt finit ''S'', hi ha una bijecció entre el conjunt de totes les possibles [[ordenacions totals]] dels seus elements i el conjunt de totes les bijeccions de ''S'' en ''S''. Això és el mateix que dir que el nombre de [[permutacions]] (un altre nom per a referir-se a les bijeccions) dels elements de ''S'' és el mateix que el nombre de ordenacions totals d’aquestd'aquest conjunt --anomenat, ''n!''.