|
[[Fitxer:Geometric progression convergence diagram.svg|thumb|350px|La sèrie geomètrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... convergeix a 2.]]
En [[matemàtiques]], una '''sèrie''' és la [[suma]] dels termes d'una [[successió (matemàtiques)|successió]], una [[suma]] amb un nombre [[infinit]] de termes o [[sumand]]s. Normalment es representa una sèrie amb termes <math>a_n</math> com <math>\sum_{i=1}^N a_i</math> on <math>N \in \mathbb {N}</math> és l'índex final de la sèrie. Les ''sèries infinites'' són aquelles on iel subíndex agafa el valor d'absolutament tots els [[nombres naturals]], és a dir, <math>\sum_{i =\in 1,2,3,\ldotsmathbb {N}} a_i</math>.
LesEn l'àmbit del [[càlcul infinitesimal]], es poden classificar les sèries segons si ''[[Sèrie convergent|convergeixen]]'' o ''[[Sèrie divergent|divergeixen]]''. EnEs [[càlculdiu infinitesimal|càlcul]],que una sèrie <math>S = \sum_{i \in \mathbb {N}} a_i</math> per <math>a_i \in \mathbb {K} \quad \forall i \in \mathbb {N}</math> ''divergeix'' si el [[Límit (matemàtiques)|límit]] <math>\lim_{n\to \infty} \, \, \sum_{i=1}^n a_i</math> no existeix en <math>\mathbb {K}</math> o si tendeix a [[infinit;]], i que ''convergeix'' si <math>\lim_{n\to \infty} \, \, \sum_{i=1}^n a_i = L</math> per algun <math>L \in \mathbb{RK}</math>. Per tant, tota sèrie o bé és convergent o bé és divergent.
L'estudi de les sèries és un dels àmbits principals de l'[[anàlisi matemàtica]] i els seus resultats són vitals per múltiples disciplines, incloent-hi la [[física]], la [[computació]], l'[[estadística]] i l'[[economia]].
== Propietats bàsiques ==
Serveixi com a exemple la sèrie següent, que anomenarem S:
:<math>S = 1-1+1-1+1-1+1... \cdots</math>.
Aquesta sèrie es pot escriure de manera compacta amb la notació de sumatoris[[sumatori]]s com segueix:
<math>S=\sum_{n=0}^\infty\ (-1)^n</math>.
Notem que les regles de la suma habitual ([[associativitat]], [[commutativitat]] i [[distributivitat]]) poden patirportar algunsa canviscontradiccions a l'hora d'aplicar-les a sumes infinites. Continuant amb l'exemple anterior, es pot veure com agrupant els termes de diverses maneres i obtenims'obtenen resultats diferents. Una possibilitat seria aquesta:
:<math>S=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+...=0+0+0+0+...=0</math>
:<math>S=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+...=1+0+0+0+...=1</math>
Amb aquest exemple tan senzill podem veure que s'ha de tenir molta cura quan es treballapot amb sèries numèriques iveure que ésles possibleregles que calgui definirusuals de noula conceptessuma bàsicsno perpoden evitar caureaplicar-se en contradiccionssumes comamb laun quenombre s'acabainfinit de mostrartermes.
== Vegeu també ==
| 