Matriu (matemàtiques): diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Línia 154:
* <math>(A+B)C=AC+BC</math> per totes les matrius <math>A</math> i <math>B</math> <math>m</math>-per-<math>p</math> i matrius <math>C</math> <math>p</math>-per-<math>n</math> ([[propietat distributiva]]).
* <math>A(B+C)=AB+AC</math> per totes les matrius <math>A</math> <math>m</math>-per-<math>p</math> i les matrius <math>B</math> i <math>C</math> <math>p</math>-per-<math>n</math> ([[Propietat_distributiva]]).
{{Caixa desplegable|títol=Demostració|contingut=Fem la demostració.
*Propietat associativa
:Sigui <math>A\in M_{m\times p}, B\in M_{p\times k}, C\in M_{k\times n}, </math>
:<math>D=AB\in M_{m\times k}\Longrightarrow d_{ij}=\sum_{l=1}^pa_{il}b_{lj}</math>
:<math>E=BC\in M_{p\times n}\Longrightarrow d_{ij}=\sum_{r=1}^kb_{ir}c_{rj}</math>
:<math>F=DC\in M_{m\times n}\Longrightarrow f_{ij}=\sum_{r=1}^kd_{ir}c_{rj}=\sum_{r=1}^k \Bigg(\sum_{l=1}^pa_{il}b_{lr} \Bigg) c_{rj}=\sum_{r=1}^k \sum_{l=1}^pa_{il}b_{lr} c_{rj}=\sum_{l=1}^p a_{il}\Bigg(\sum_{r=1}^kb_{lr}c_{rj} \Bigg)=\sum_{l=1}^p a_{il}e_{lj} </math>
:Com que <math>(DC)_{ij}=\sum_{l=1}^p a_{il}e_{lj} </math> és precisament el producte <math>(AE)_{ij}=\sum_{l=1}^p a_{il}e_{lj} </math> tenim que, <math>\forall 1\geq i\geq m, 1\geq j\geq n</math> :<math>[(AB)C]_{ij}=[DC]_{ij}=\sum_{l=1}^p a_{il}e_{lj}=[AE]_{ij}=[A(BC)]_{ij}</math>
:I, per tant, <math>(AB)C=A(BC)</math>.
*Propietat distributiva per l'equerra
:Sigui <math>A,B\in M_{m\times p}, C\in M_{p\times n}, </math>
:<math>D=A+B\in M_{m\times p} \Longrightarrow d_{ij}=a_{ij}+b_{ij}</math>
:<math>E=AC\in M_{m\times n}\Longrightarrow e_{ij}=\sum_{l=1}^pa_{il}c_{lj}</math>
:<math>F=BC\in M_{m\times n}\Longrightarrow f_{ij}=\sum_{l=1}^pb_{il}c_{lj}</math>
:<math>G=DC\in M_{m\times n}\Longrightarrow g_{ij}=\sum_{l=1}^pd_{il}c_{lj}=\sum_{l=1}^p(a_{il}+b_{il})c_{lj}=\sum_{l=1}^pa_{il}c_{lj}+\sum_{l=1}^pb_{il}c_{lj}=e_{ij}+f_{ij}\Longrightarrow (A+B)C=DC=G=E+F=AC+BC</math>
*Propietat distributiva per la dreta
:Sigui <math>A\in M_{m\times p}, B, C\in M_{p\times n}, </math>
:<math>D=B+C\in M_{m\times p} \Longrightarrow d_{ij}=b_{ij}+c_{ij}</math>
:<math>E=AB\in M_{m\times n}\Longrightarrow e_{ij}=\sum_{l=1}^pa_{il}b_{lj}</math>
:<math>F=AC\in M_{m\times n}\Longrightarrow f_{ij}=\sum_{l=1}^pa_{il}c_{lj}</math>
:<math>G=AD\in M_{m\times n}\Longrightarrow g_{ij}=\sum_{l=1}^pa_{il}d_{lj}=\sum_{l=1}^pa_{il}+(b_{lj}+c_{lj})=\sum_{l=1}^pa_{il}b_{lj}+\sum_{l=1}^pa_{il}c_{lj}=e_{ij}+f_{ij}\Longrightarrow A(B+C)=AD=G=E+F=AB+AC</math>}}
És important remarcar que la [[Propietat commutativa]] no s'aplica generalment; per tant, donant unes matrius <math>A</math> i <math>B</math> i el seu producte definit, aleshores és quasi sempre <math>AB\neq BA</math>.
| |||