Viquipèdia

Matriu (matemàtiques): diferència entre les revisions

Exploració interactiva de l'historial
← Edició anteriorEdició següent →
Contingut suprimit Contingut afegit
VisualWikitext
Línia 200:
== Matrius quadrades i definicions ==
 
Una '''matriu quadrada''' d'ordre <math>n</math> és una matriu que té el mateix nombre de files que de columnes, <math>n</math>. El conjunt de totes les matrius quadrades d'ordre <math>n</math>, junt amb la suma de matrius i el producte de matrius és un [[anell (matemàtiques)|anell unitari]]. A menys que ''<math>n'' = 1</math>, aquest l'anell no téés laun [[propietat commutativa|anell commutatiu]].
 
<math>M_n(\R)</math>, l'anell de matrius quadrades reals, és una [[àlgebra associativa]] real unitària. <math>M_n(\C)</math>, l'anell de matrius quadrades complexes, és una àlgebra associativa complexa unitària.
 
La '''matriu unitària''' o '''[[matriu d'identitat]]''' ''I<submath>nI_n</submath>'', amb elements a la diagonal principal disposats en 1 i tots els altres elements disposats a 0, es comprova fàcilment que aquesta matriu satisfà ''MI<sub>n</submath>MI_n=I_mM=M'' i ''I<sub>n</submath>N=N'' per qualsevol matriu '''<math>M'''</math> ''<math>m''</math>-per-''<math>n'' o matriu '''N''' ''n''-per-''k''</math>. Per exemple, si ''n'' = 3:
:<math>
I_3 =
Línia 213:
\end{pmatrix}
</math>
Una manera útil i compacte d'escriure la matriu identitat emprant la [[delta de Kronecker]] és <math>I=(I)_{ij}=\begin{cases}1 & \text{si} & i=j \\ 0 & \text{si} & i\neq j \end{cases}</math>, si hi hagués ambigüitat en l'ordre de la matriu s'hauria d'escriure <math>I_n=(I)_{1\leq i,j \leq n}=\begin{cases}1 & \text{si} & i=j, \forall 1\leq i,j \leq n \\ 0 & \text{si} & i\neq j, \forall 1\leq i,j \leq n \end{cases}</math>
La matriu d'identitat és l'element d'identitat en l'anell de matrius quadrades.▼
 
{{Caixa desplegable|títol=Demostració <math>MI_n=I_mM=M</math>|contingut=Demostrem primer <math>MI_n=M</math>. :Sigui <math>M\in M_{m\times n}</math> i <math>I_n\in M_{n\times n}</math>, aleshores denotem el número que ocupa la posició <math>i,j</math> com <math>m_{ij}</math> i <math>(I)_{ij}=\delta_{ij}=\begin{cases}1 & \text{si} & i=j \\ 0 & \text{si} & i\neq j \end{cases}</math> la delta de Kroenecker :<math>N=M\times I_n \Longrightarrow n_{ij}=\sum_{k=1}^nm_{in}(I)_{nj}=\sum_{k=1}^nm_{in}\delta_{nj}=m_{ij}</math>, ja que <math>\delta_{nj}</math> és nul sempre menys quan <math>n=j</math> : Com que <math>n_{ij}=m_{ij}, \forall i,j</math>, aleshores <math>N=M</math> Ara, <math>I_mM=M</math> : Amb les definicions fetes per la demostració anterior; :<math>N=I_m \times M \Longrightarrow n_{ij}=\sum_{k=1}^n(I)_{in}m_{nj}=\sum_{k=1}^n\delta_{in}m_{nj}=m_{ij}</math>, ja que <math>\delta_{in}</math> és nul sempre menys quan <math>n=i</math> : Com que <math>n_{ij}=m_{ij}, \forall i,j</math>, aleshores <math>N=M</math> Finalment, com que <math>M=MI_n</math> i <math>M=I_mM</math> és clar que <math>MI_n=I_mM</math> quedant totes les igualtats demostrades.}}
Els elements invertibles en aquest anell s'anomenen '''[[matriu invertible|matrius invertibles]]''' o '''matrius regulars''' (o '''matrius no singulars'''). Una matriu '''A''' ''n''-per-''n'' és invertible si i només si existeix una matriu '''B''' tal que▼
:'''AB''' = I<sub>''n''</sub> i '''BA''' = I<sub>''n''</sub>.
En aquest cas, '''B''' és la '''matriu inversa''' d''''A''', denotada per '''A'''<sup>−1</sup>. El conjunt de totes les matrius invertibles ''n''-per-''n'' forma un [[grup (matemàtiques)|grup]] (específicament un [[grup de Lie]]) sota la multiplicació de matrius, el [[grup lineal general]].▼
 
▲La matriu d'identitat és l'element d'identitatneutre respecte el producte de matrius en l'anell de matrius quadrades.
Si λ és un nombre i '''v''' és un vector no-zero tal que '''Av''' = λ'''v''', aleshores hom anomena '''v''' un [[vector propi]] (''eigenvector'' en anglès) d''''a''' i λ el [[valor propi]] (''eigenvalue'' en anglès) associat. (''Eigen'' significa "propi" en alemany). El nombre λ és un valor propi d''''A''' si i només si '''A'''−λ''I''<sub>''n''</sub> no és invertible, que passa si i només si ''p''<sub>'''A'''</sub>(λ) = 0. Aquí ''p''<sub>'''A'''</sub>(''x'') és el [[polinomi característic]] d''''A'''. Aquest és un polinomi de grau ''n'' i per tant té ''n'' arrels complexes (comptant les arrels múltiples segons la seva multiplicitat). En aquest sentit, cada matriu quadrada té ''n'' valors propis complexos.▼
 
▲Els elements invertibles en aquest anell s'anomenen '''[[matriu invertible|matrius invertibles]]''' o '''matrius regulars''' (o '''matrius no singulars'''). Una matriu '''<math>A'''</math> ''<math>n''</math>-per-''<math>n''</math> és invertible si i només si existeix una matriu '''<math>B'''</math> tal que
El [[determinant (matemàtiques)|determinant]] d'una matriu quadrada '''A''' és el producte dels seus valors propis (comptant cadascú segons la seva multiplicitat), però també es pot definir per mitjà de la ''[[Determinant (matemàtiques)#Determinant d.27una fam.C3.ADlia de n vectors en una base|fórmula de Leibniz]]''. Les matrius invertibles són precisament aquelles amb un determinant no-zero, o sigui amb valors propis tots no-zero.▼
:<math>AB=BA=I_n</math>.
▲En aquest cas, '''<math>B'''</math> és la '''matriu inversa''' d''''<math>A'''</math>, denotada per '''A'''<supmath>−1A^{-1}</supmath>. El conjunt de totes les matrius invertibles ''<math>n''</math>-per-''<math>n''</math> forma un [[grup (matemàtiques)|grup]] (específicament un [[grup de Lie]]) sota la multiplicació de matrius, el [[grup lineal general]].
 
▲Si λ<math>\lambda</math> és un nombre i '''<math>v'''</math> és un vector no-zero tal que '''<math>Av''' =\lambda λ'''v'''</math>, aleshores hom anomena '''<math>v'''</math> un [[vector propi]] (''eigenvector'' en anglès) d''''a'''<math>A</math> i λ<math>\lambda</math> el [[valor propi]] (''eigenvalue'' en anglès) associat. (''Eigen'' significa "propi" en alemany). El nombre λ<math>\lambda</math> és un valor propi d''''<math>A'''</math> si i només si '''A'''−λ''I''<submath>''n''A-\lambda I_n</submath> no és invertible, que passa si i només si ''p''<sub>'''A'''</submath>p_A(λ\lambda) = 0</math>. Aquí ''p''<submath>'''A'''p_A(x)</submath>(''x'') és el [[polinomi característic]] d''''<math>A'''</math>. Aquest és un polinomi de grau ''<math>n''</math> i per tant té ''<math>n''</math> arrels complexes (comptant les arrels múltiples segons la seva multiplicitat). En aquest sentit, cada matriu quadrada té ''<math>n''</math> valors propis complexos.
 
▲El [[determinant (matemàtiques)|determinant]] d'una matriu quadrada '''<math>A'''</math> és el producte dels seus valors propis (comptant cadascú segons la seva multiplicitat), però també es pot definir per mitjà de la ''[[Determinant (matemàtiques)#Determinant d.27una fam.C3.ADlia de n vectors en una base|fórmula de Leibniz]]''. Les matrius invertibles són precisament aquelles amb un determinant no-zero, o sigui amb valors propis tots no-diferents de zero.
 
L'algorisme d'[[eliminació de Gauss-Jordan]] és de vital importància: hom el pot utilitzar per computar determinants, rangs i els inversos de matrius i per solucionar [[sistema d'equacions lineals|sistemes d'equacions lineals]].
Obtingut de «https://ca.wikipedia.org/wiki/Matriu_(matemàtiques)»