Matriu (matemàtiques): diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Línia 215:
Una manera útil i compacte d'escriure la matriu identitat emprant la [[delta de Kronecker]] és <math>I=(I)_{ij}=\begin{cases}1 & \text{si} & i=j \\ 0 & \text{si} & i\neq j \end{cases}</math>, si hi hagués ambigüitat en l'ordre de la matriu s'hauria d'escriure <math>I_n=(I)_{1\leq i,j \leq n}=\begin{cases}1 & \text{si} & i=j, \forall 1\leq i,j \leq n \\ 0 & \text{si} & i\neq j, \forall 1\leq i,j \leq n \end{cases}</math>
{{Caixa desplegable|títol=Demostració <math>MI_n=I_mM=M</math>|contingut=Demostrem primer <math>MI_n=M</math>.
:Sigui <math>M\in M_{m\times n}</math> i <math>I_n\in M_{n\times n}</math>, aleshores denotem el número que ocupa la posició <math>i,j</math> com <math>m_{ij}</math> i <math>(I)_{ij}=\delta_{ij}=\begin{cases}1 & \text{si} & i=j \\ 0 & \text{si} & i\neq j \end{cases}</math> la delta de Kroenecker
:<math>N=M\times I_n \Longrightarrow n_{ij}=\sum_{k=1}^nm_{in}(I)_{nj}=\sum_{k=1}^nm_{in}\delta_{nj}=m_{ij}</math>, ja que <math>\delta_{nj}</math> és nul sempre menys quan <math>n=j</math> : Com que <math>n_{ij}=m_{ij}, \forall i,j</math>, aleshores <math>N=M</math>.
Demostrem ara, <math>I_mM=M</math>
: Amb les definicions fetes per la demostració anterior; :<math>N=I_m \times M \Longrightarrow n_{ij}=\sum_{k=1}^n(I)_{in}m_{nj}=\sum_{k=1}^n\delta_{in}m_{nj}=m_{ij}</math>, ja que <math>\delta_{in}</math> és nul sempre menys quan <math>n=i</math>
: Com que <math>n_{ij}=m_{ij}, \forall i,j</math>, aleshores <math>N=M</math>.
Finalment, com que <math>M=MI_n</math> i <math>M=I_mM</math> és clar que <math>MI_n=I_mM</math> quedant totes les igualtats demostrades.}}
La matriu d'identitat és l'element neutre respecte el producte de matrius en l'anell de matrius quadrades.
| |||