Teorema de Taylor: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Corregit: - com de gran és aquest + com és de gran aquest |
Cap resum de modificació |
||
Línia 27:
El teorema de Taylor amb ''R'' expressat de la segona forma és també vàlid si la funció ''f'' té [[nombre complex|nombres complexos]] o [[espai vectorial|valors vectorials]]. A més existeix una variació del teorema de Taylor adaptat a funcions amb múltiples variables.
== Construcció del polinomi de Taylor ==
Sigui <math>f</math> una funció <math>n</math> vegades derivable en el punt <math>a</math>. Busquem una funció <math>g(x)</math>, polinòmica de grau <math>n</math>, que sigui una [[Contacte entre funcions|aproximació d'ordre superior]] a <math>n</math> de la funció <math>f</math> en aquest punt. Com que <math>g(x)</math> és una funció polinòmica de grau <math>n</math> la podem escriure de la següent forma:<blockquote><math>g(x)=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+...+c_n(x-a)^n</math></blockquote>Com que el contacte entre les funcions <math>f</math> i <math>g</math> és d'ordre superior a <math>n</math> podem afirmar que <math>f^{(k)}(a)=g^{(k)}(a), \forall 0\leq k \leq n</math>. I per tant
<math>f(a)=g(a)=c_0; \ f'(a)=g'(a)=c_1; \ f''(a)=2c_2; ...; f^{(j)}(a)=g^{(j)}(a)=j!c_j</math>
Escrit d'altra manera:
<math>c_0=f(a); \ c_1=f'(a); \ c_2=\frac{f''(a)}{2}; ...;\ c_j=\frac{f^{(j)}(a)}{j!}</math>
I per tant, el polinomi queda totalment definit com:<blockquote><math>g(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2+...+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n</math></blockquote>Aquest polinomi és precisament el polinomi de Taylor de grau <math>n</math><ref>Tot i que, de fet, el polinomi no té perquè ser de grau <math>n</math>, ja que res impedeix que el terme <math>c_n=0</math>.</ref> associat a <math>f</math> en el punt <math>a</math> i, com s'ha vist, és el polinomi de grau <math>n</math> que millor s'ajusta a la funció. Aquest polinomi es sol representar com <math>g(x)=P_n^{(a)}(x)</math>.
Aleshores simplement es defineix el residu o resta com<blockquote><math>R_n^{(a)}(x)=f(x)-P_n^{(a)}(x)</math></blockquote>I, per definició, <math>R_n^{(a)}=o[(x-a)^n]</math><ref>Infinitèsim d'ordre superior a <math>n</math>.</ref>.
==Propietat del residu==
Linha 46 ⟶ 59:
Una altra qüestió ben diferent és veure com és de gran aquest entorn de validesa de l'aproximació, si a qualsevol punt x, la sèrie de Taylor serà convergent i per tant vàlida per a calcular el valor de la funció en aquell punt. Per saber on és possible, s'ha de fer un estudi del radi de convergència de la sèrie.
== Demostració Teorema de Taylor ==
Enunciem el teorema a demostrar com:<blockquote>"Si <math>f</math> és <math>n+1</math> vegades derivable en algun entorn del punt <math>a</math>, i <math>x</math> és un punt d'aquest entorn <math>\Longrightarrow f(x)=P_n^{(a)}(x)+R_n^{(a)}(x)</math> i <math>R_n^{(a)}(x)</math>s'expresa com:</blockquote>
* <math>\exists c</math>, entre <math>a</math> i <math>x</math>, tal que
<blockquote><math>R_n^{(a)}(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{(n+1)}</math> (Resta de Lagrange)</blockquote>
* <math>\exists c'</math>, entre <math>a</math> i <math>x</math>, tal que
<blockquote><math>R_n^{(a)}(x)=\frac{f^{(n+1)}(c')}{n!}(x-a)(x-c')^n</math> (Resta de Cauchy)"</blockquote>'''''<u>EN CONSTRUCCIÓ</u>'''''
== Referències i notes ==
<references />
{{ORDENA:Teorema De Taylor}} <!--ORDENA generat per bot-->
[[Categoria:Teoremes matemàtics|Taylor]]
| |||