Sèrie de Fourier: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m bot: - portador del mateix. + portador d'aquest. |
→Enginyeria: espectre d'una funció |
||
Línia 265:
<math>f(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} C_k e^{j \omega k t}</math>
||left}}
== Espectre d'una funció periòdica ==
Sigui <math>S(x)</math> una funció periòdica, de període <math>T=\frac{n 2\pi}{\omega_n}</math>, que es pot escriure com:<blockquote><math>f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigg(a_n \cos(\omega_n t)+b_n \sin(\omega_n t)\bigg)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{i\omega_n t}</math></blockquote>Aleshores direm que la sèrie de Fourier anterior és la ''descomposició espectral'' de la funció <math>f(t)</math>. El conjunt de coeficients <math>a_n
</math> i <math>b_n</math> o, el conjunt de coeficients <math>C_n</math> s'anomena l'<nowiki/>'''espectre de la funció <math>f(t)</math>'''. L'espectre d'una funció, per tant, conté tota la informació d'aquesta i, si considerem la funció <math>f(t)</math> com la superposició d'[[Ona plana|ones planes]], l'espectre de la funció és el conjunt d'amplituds d'aquestes ones.
=== Exemples ===
Sigui la funció de període <math>2\pi</math>, <math>f(x) = \begin{cases} 0 & -\pi<x\le 0 \\ x & 0\le x<\pi \end{cases}</math>
El seu espectre és, com hem vist a [[Sèrie de Fourier#Exemple|abans]],
<math>\{ a_0\} \cup \{a_n \} \cup \{ b_n \}=\Big\{\frac{\pi}{2}\Big \} \cup \Bigg\{\frac{(-1)^n-1}{\pi n^2}\Bigg\} \cup \Bigg\{-\frac{(-1)^{n}}{n}\Bigg\}, n\in\N^*</math> o, equivalentment <math>\{C_n \}=\Big\{\frac{\pi}{4} \Big\}\cup\Bigg\{\frac{1}{2n}\bigg[ie^{in\pi}+\frac{1}{\pi n}(e^{in\pi}-1)\bigg]\Bigg \} ,n\in\Z^*</math>
Considerem un altre exemple senzill; sigui la funció <math>f(t)=\begin{cases}0 &\text{si} & t\in \Big(-1,-\frac{1}{2} \Big)\cup \Big(\frac{1}{2},1\Big]
\\1 &\text{si} & t\in \Big(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\Big) \\ \frac{1}{2} & \text{si} & t=\pm \frac{1}{2} \end{cases}</math> i <math>f(t)=f(t+2)</math>.
El seu espectre és:
<math> \{C_n\}=\Big\{\frac{1}{2}\Big\}\cup\Bigg\{\frac{\sin{\frac{n\pi}{2}}}{n\pi} \Bigg\}, n\in Z^*</math>
== Referències ==
| |||