Nombre racional: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Cap resum de modificació Etiquetes: editor visual Edita des de mòbil Edició web per a mòbils |
m Revertides les edicions de THESOQUI. Si penseu que és un error, deixeu un missatge a la meva discussió. |
||
Línia 1:
{{nombres}}
S'anomena '''nombre racional''' a tot aquell [[nombre]] que pot ser expressat com a resultat de la [[divisió]] de dos [[nombre enter|nombres enters]], amb el [[divisor]] diferent de 0. El conjunt dels racionals es representa amb la lletra ℚ (<math>\mathbb{Q}</math>) o '''Q''', de [[quocient]]. Aquest [[conjunt]] de [[nombre]]s conté el dels [[nombre enter|nombres enters]] i és un [[subconjunt]] dels [[nombre real|nombres reals]]. Els [[nombre real|reals]] que no pertanyen a aquest conjunt s'anomenen [[nombre irracional|irracionals]].
Els racionals es caracteritzen per tenir un desenvolupament decimal (o en qualsevol [[Base (matemàtiques)|base]]) finit o periòdic, és a dir que un racional té un nombre de xifres decimals finit, o bé que aquestes es repeteixen de manera regular.
== Història ==
És versemblant que el concepte de nombre fraccionari dati dels temps [[prehistòria|prehistòrics]]. Fins i tot els [[Antic Egipte|antics egipcis]] van escriure textos matemàtics que descrivien com convertir [[fracció|fraccions]] generals en les seves fraccions amb [[fracció egípcia|notació especial]]. Els matemàtics indis i de la Grècia clàssica van fer estudis sobre la teoria dels nombres racionals, com a part de l'estudi general de la teoria de nombres. El millor conegut de tots és l'anomenat [[elements d'Euclides|''Elements'']] d'[[Euclides]], que data aproximadament del [[300 aC]]. Dels textos indis el més rellevant és el ''[[Sthananga Sutra]]'', el qual també tracta sobre la teoria dels nombres com a part d'un estudi general de matemàtiques.
El concepte de [[fracció decimal]] està lligat estretament a la notació amb valor posicional decimal; tots dos sembla que s'hagin desenvolupat en paral·lel. Per exemple, és habitual en les matemàtiques de Sutra incloure càlculs d'aproximacions en fraccions decimals de [[nombre π|pi]] o de l'[[arrel quadrada de dos]]. De forma similar, els textos matemàtics babilonis havien fet servir sempre fraccions sexagesimals freqüentment.
== Definició ==
[[Fitxer:Fracciones.gif|thumb|left|251px|Quarts]]
La forma intuïtiva d'entendre els nombres racionals és pensar en ells com els nombres que resulten de les [[fracció|fraccions]]. Una fracció es compon de dos nombres enters, un numerador ''n'' i un denominador ''d''. La fracció es pot entendre com la quantitat d'una cosa que es mesura en unitats que es poden dividir. La unitat d'aquesta cosa es parteix en un nombre ''d'' de parts iguals i se'n agafen ''n'' d'aquestes parts. A la figura de l'esquerra es parteix un cercle (que es pot fer servir com unitat de mesura de la matèria de què està fet) en quatre parts iguals, agafant-ne una, dues, tres, o quatre d'aquestes parts s'obtenen diferents quantitats de la matèria de la qual està fet el cercle. Si s'agafen menys de 4 parts es té menys d'una unitat de matèria, si se'n agafen més de 4 s'obtindria més d'una unitat, si se'n agafen exactament quatre es tindria una unitat.
Una manera de definir els nombres naturals sense necessitat de fer referència a objectes físics que es parteixen en parts iguals, seria definir-los com parelles de nombres enters. El que passa és que aquesta definició no seria completament satisfactòria doncs no coincidiria exactament amb el concepte intuïtiu que s'ha explicat abans.
Fixeu-vos que si el mateix cercle es parteix en vuit parts i se'n agafen quatre es té la mateixa quantitat de matèria que si es parteix en quatre parts i se'n agafen dues. Però la parella (4,8) no és la mateixa parella de nombres que la parella (2,4). Per poder definir els nombres racionals com a parelles de nombres enters cal fer quelcom per identificar la parella (4,8) amb la (2,4) i assignar-los a totes dues (i a d'altres que corresponen a la mateixa quantitat de matèria) el mateix nombre racional abstracte.
Un altre problema que cal superar amb la idea de les parelles és que un objecte no es pot partir en zero parts, per tant parelles com la (3,0) s'han de prohibir.
Tenint en compte tot això el conjunt dels nombres racionals es defineix com:
El conjunt de les [[classe d'equivalència|classes d'equivalència]] de [[parella ordenada|parelles ordenades]] d’[[nombre enter|enters]] <math>\left(a, b\right)</math>, amb <math>b</math> diferent de zero, amb la següent relació d'equivalència:
: <math>\left(a, b\right) \sim \left(c, d\right) \mbox{ si i només si } ad = bc.</math>
Aquesta relació d'equivalència en el cas de l'exemple funciona bé (2x8=4x4) és a dir fa que les dues parelles de nombres enters pertanyin a la mateixa classe d'equivalència, per tant la definició els assigna el mateix nombre racional.
La forma de veure que això funcionarà sempre tal com intuïtivament es desitja és observar que si dues quantitats de matèria són iguals, al multiplicar-les per un mateix nombre enter continuaran sent iguals. La idea és veure que passa si es multipliquen dues fraccions per un nombre enter que és el producte dels dos denominadors.
Per començar la idea de multiplicar s'ha d'extrapolar de la idea de multiplicar nombres naturals. Intuïtivament, multiplicar un nombre racional per un nombre natural ''m'' ha de coincidir amb sumar el nombre racional amb si mateix ''m'' vegades. Però si el significat de (''n'',''d'') és que s'han agafat ''n'' bocins iguals, agafar ''n'' bocins ''m'' vegades serà igual a agafar ''m'' x ''n'' bocins i per tant ''m''x(''n'',''d'')=(''m''x''n'',''d'').
Tot seguit s'ha de veure que cada ''d'' bocins es té una unitat per tant cal identificar el nombre racional (''d''x''a'',''d'') amb el nombre natural ''a''.
Ara ja es pot comprovar que la relació d'equivalència definida porta on intuïtivament es desitja:
:<math>\begin{align}
& b\times d\times \left( a,b \right)=\left( b\times d\times a,b \right)=d\times a \\
& b\times d\times \left( c,d \right)=\left( b\times d\times c,d \right)=b\times c \\
\end{align}</math>
Per tant si es vol que les parelles de nombres funcionin tal com intuïtivament es pretén cal identificar amb un mateix nombre totes les parelles que compleixin aquesta igualtat:
:<math>d\times a=b\times c</math>
que és exactament el que s'ha fet en definir les classes d'equivalència.
Els nombres enters s'assimilen com un subconjunt dins del conjunt dels nombres racionals a base d'identificar cada nombre enter e amb el nombre racional (''e'',1).
== Notació ==
Linha 403 ⟶ 451:
\end{align}</math>
}}
== Generalització ==
La definició formal dels nombres racionals es pot fer servir per generalitzar el concepte de nombres racionals aplicant-la a [[cos (matemàtiques)|cossos]] diferents del cos dels nombres naturals. Llavors es parla del [[cos de les fraccions]].
Per exemple si s'aplica al cos dels polinomis llavors es construeix el cos de les [[fracció racional|fraccions racionals]]
{{Commonscat}}
{{Autoritat}}
{{ORDENA:Nombre Racional}} <!--ORDENA generat per bot-->
[[Categoria:Nombres racionals| ]]
| |||