Independència lineal: diferència entre les revisions

Correcció de redactat
Cap resum de modificació
(Correcció de redactat)
{{MF|data=febrer de 2014}}
{{FR|data=febrer de 2014}}Sigui ''S'' un [[subconjunt]] no [[conjunt buit|buit]] d'un [[mòdul]] ''M'' sobre un [[anell (matemàtiques)|anell]] ''K''. Hom diu que els elements del conjunt ''S'' són '''linealment independents''' i el conjunt és '''lliure''' o '''linealment independent''', si qualsevol [[combinació lineal]] finita d'elements de ''S'' de resultat zero és trivial, és a dir, si:
{{FR|data=febrer de 2014}}
{{millorar text|data=febrer de 2014}}
 
Sigui ''S'' un [[subconjunt]] no [[conjunt buit|buit]] d'un [[mòdul]] ''M'' sobre un [[anell (matemàtiques)|anell]] ''K''. Hom diu que els elements del conjunt ''S'' són '''linealment independents''' i el conjunt és '''lliure''' o '''linealment independent''', si qualsevol [[combinació lineal]] finita d'elements de ''S'' de resultat zero és trivial, és a dir, si:
:<math> \sum_{i \in I} \lambda_{i} s_{i} = 0,\quad
I \subseteq \mathbb{N},\quad
\lambda_{i} = 0,\quad \forall i \in I</math>
 
Si els elements de ''S'' no són linealment independents, hom diu que són '''linealment dependents''' i el conjunt ''S'' es diu '''''lligat''''' o '''''linealment dependent'''''.
 
== Propietats ==
\lambda_{i} \in K,\quad
s, s_{i} \in S</math>
:podemes pot posar
::<math>1s - \sum_{i \in I} \lambda_{i} s_{i} = 0,\quad
I \subseteq \mathbb{N},\quad
*Si ''S'' és un conjunt lligat, és a dir, que els seus elements són linealment dependents, és aquí equivalent al fet que, almenys, un dels seus elements sigui combinació lineal dels altres. En efecte, si ''S'' és lligat, hi ha alguna combinació lineal:
*:<math>\sum_{i \in I} \lambda_{i} s_{i} = 0</math>
:amb no tots els escalars <math>\lambda_i</math> nuls. PosemEs podria dir, sense perdre generalitat, que <math>\lambda_1 \neq 0</math>. TenimEs té:
::<math>\lambda_{1} s_{1} + \sum_{i \in I\backslash\{1\}} \lambda_{i} s_{i} = 0</math>
:i, per tant,
 
== Exemple ==
ConsideremConsiderar el ℤ-[[mòdul lliure]] <math>\mathbb{Z}^2</math> i els seus elements:
:<math>a = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix},
b = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix},
c = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}.</math>
Com que tenimes té la combinació lineal 3''a'' + 3''b'' − 2''c'' = 0, els elements ''a'', ''b'' i ''c'' són linealment dependents. Però cap d'aquests és combinació lineal dels altres dos. En efecte, cadascuna de les expressions:
:<math>
a = \lambda_{1} b + \mu_{1} c,\quad
816

modificacions