Revisió del 11:02, 19 set 2015 modifica Maria Fullana de València (discussió \| contribucions) 24.269 edits Cap resum de modificació Etiqueta: editor visual ← Edició anterior		Revisió del 21:18, 24 nov 2016 modifica desfés Jmunnech7 (discussió \| contribucions) 816 edits Correcció de redactat Etiqueta: editor visual Edició següent →
Línia 1: {{MF\|data=febrer de 2014}} {{FR\|data=febrer de 2014}}Sigui ''S'' un [[subconjunt]] no [[conjunt buit\|buit]] d'un [[mòdul]] ''M'' sobre un [[anell (matemàtiques)\|anell]] ''K''. Hom diu que els elements del conjunt ''S'' són '''linealment independents''' i el conjunt és '''lliure''' o '''linealment independent''', si qualsevol [[combinació lineal]] finita d'elements de ''S'' de resultat zero és trivial, és a dir, si:▼ ~~{{FR\|data=febrer de 2014}}~~ ~~{{millorar text\|data=febrer de 2014}}~~ ▲Sigui ''S'' un [[subconjunt]] no [[conjunt buit\|buit]] d'un [[mòdul]] ''M'' sobre un [[anell (matemàtiques)\|anell]] ''K''. Hom diu que els elements del conjunt ''S'' són '''linealment independents''' i el conjunt és '''lliure''' o '''linealment independent''', si qualsevol [[combinació lineal]] finita d'elements de ''S'' de resultat zero és trivial, és a dir, si: :<math> \sum_{i \in I} \lambda_{i} s_{i} = 0,\quad I \subseteq \mathbb{N},\quad Linha 12 ⟶ 9: \lambda_{i} = 0,\quad \forall i \in I</math> Si els elements de ''S'' no són linealment independents, hom diu que són '''linealment dependents''' i el conjunt ''S'' es diu '''''lligat''''' o '''''linealment dependent'''''. == Propietats == Linha 23 ⟶ 20: \lambda_{i} \in K,\quad s, s_{i} \in S</math> :~~podem~~es pot posar ::<math>1s - \sum_{i \in I} \lambda_{i} s_{i} = 0,\quad I \subseteq \mathbb{N},\quad Linha 34 ⟶ 31: Si ''S'' és un conjunt lligat, és a dir, que els seus elements són linealment dependents, és aquí equivalent al fet que, almenys, un dels seus elements sigui combinació lineal dels altres. En efecte, si ''S'' és lligat, hi ha alguna combinació lineal: :<math>\sum_{i \in I} \lambda_{i} s_{i} = 0</math> :amb no tots els escalars <math>\lambda_i</math> nuls. ~~Posem~~Es podria dir, sense perdre generalitat, que <math>\lambda_1 \neq 0</math>. ~~Tenim~~Es té: ::<math>\lambda_{1} s_{1} + \sum_{i \in I\backslash\{1\}} \lambda_{i} s_{i} = 0</math> :i, per tant, Linha 44 ⟶ 41: == Exemple == ~~Considerem~~Considerar el ℤ-[[mòdul lliure]] <math>\mathbb{Z}^2</math> i els seus elements: :<math>a = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}, b = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}, c = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}.</math> Com que ~~tenim~~es té la combinació lineal 3''a'' + 3''b'' − 2''c'' = 0, els elements ''a'', ''b'' i ''c'' són linealment dependents. Però cap d'aquests és combinació lineal dels altres dos. En efecte, cadascuna de les expressions: :<math> a = \lambda_{1} b + \mu_{1} c,\quad

Independència lineal: diferència entre les revisions