Conjunt: diferència entre les revisions

Segons el diccionari de l'[[Institut d'Estudis Catalans]], en [[matemàtiques]], un '''conjunt''' és una reunió d'objectes ben definits en la intuïció o en el pensament, considerada com una totalitat. Tot i que això sembla una idea senzilla, els conjunts són un dels [[concepte]]s més fonamentals en la [[matemàtica]] moderna. L'estudi de les estructures dels conjunts possibles, [[teoria de conjunts]], és un camp ric i en continu desenvolupament. Tot i que no va ser inventada fins al [[segle XIX]], la teoria de conjunts és avui en dia una part ubiqua de les matemàtiques. La teoria de conjunts pot ser vista com el fonament a partir del qual es poden derivar gairebé totes les matemàtiques.

La definició de l'accepció matemàtica de la paraula catalana ''conjunt'' que dóna [[Pompeu Fabra]] en el diccionari, coincideix gairebé exactament amb la traducció de l'alemany al català de la definició que va donar el principal creador de la teoria de conjunts [[Georg Cantor]] al començament de la seva obra ''Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre'': :<ref>Quoted in Dauben, p. 170.</ref>

En altres idiomes la definició de la traducció de la paraula catalana ''conjunt'' no és exactament igual, per exemple en espanyol, el diccionari de la real acadèmia de la llengua dóna com a definició de "''conjunto"'' en l'accepció matemàtica: "La totalitat de les entitats matemàtiques que tenen determinada propietat", i posa com a exemple el conjunt dels nombres primers. És a dir, relaciona el concepte de conjunt a la seva definició intensional i el restringeix al cas de les entitats matemàtiques.

Els [[element (matemàtiques)|elements]] d'un conjunt, també anomenats els seus ''membres'', poden ser qualsevol cosa: nombres, gent, lletres de l'alfabet, altres conjunts, i així. Els conjunts es denoten per convenció amb [[majúscula|lletres majúscules]]. L'afirmació de què els conjunts ''A'' i ''B'' són iguals significa que tenen exactament els mateixos membres (és a dir, cada membre de ''A'' és també membre de ''B'' i viceversa).

Definir un conjunt consisteix a descriure o especificar quins són els seus membres, hi ha dues formes per a fer-ho. Una forma, [[definició per intensió]], consisteix a fer servir una regla o una descripció [[semàntica]]. Per exemple:

La segona forma per definir un conjunt és per [[extensió (semàntica)|extensió]], això és, a base de donar una llista amb tots els membres del conjunt. Una [[definició extensional]] es denota a base d'incloure la llista dels membres entre claus ''{}'':

En aquesta notació els [[dos punts|:]] signifiquen "tal que", i la descripció es pot interpretar com "''F'' és el conjunt de tots els nombres de la forma <math>n^2</math> – 4, tal que ''n'' és un nombre enter entre 0 to 19 tots dos inclosos." De vegades encomptesen lloc dels dos punts es fa servir la barra vertical "|".

Hi ha un conjunt que no té membres i que té cardinalitat zero, d'aquest conjunt se'n diu el ''[[conjunt buit]]'' (o el ''conjunt nul'') i es denota amb el símbol ø. Per exemple, el conjunt ''A'' de tots els triangles de quatre costats, té zero membres (card ''A'' = 0), i, per tant, ''A'' = ø. PenseuS'ha de pensar que, tot imalgrat que pot semblar trivial, igual que el [[nombre zero]], pot semblar trivial, el conjunt buit és força important en matemàtiques. L'existència d'aquest conjunt és un dels conceptes fonamentals de la [[teoria axiomàtica de conjunts]].

FixeuÉs bo fixar-vosse en quequè les expressions <math>A\subset B</math> i <math>A\supset B</math> es fan servir de forma diferent depenent dels autors; alguns les fan servir per a significar el mateix que <math>A\subseteq B</math> (respectivament <math>A\supseteq B</math>), mentre que d'altres les fan servir per a significar el mateix que <math>A\subsetneq B</math> (respectivament <math>A\supsetneq B</math>).

El conjunt de les parsparts d'un conjunt ''S'' es pot definir com el conjunt de tots els subconjunts de ''S''. Això inclou els conjunts formats per membres de ''S'' i el conjunt buit. Si un conjunt finit ''S'' té cardinalitat ''n'' llavors el conjunt de les parts de ''S'' té cardinalitat 2^''n''. Si ''S'' és un conjunt infinit (tant si és [[contable]] o [[incontable]]) llavors el conjunt de les parts de ''S'' sempre és incontabeincomptable. El conjunt de les parts es pot escriure com 2^''S''.

Hi ha diferents formes de construir nous conjunts a partir de conjunts existents. Dos conjunts poden ser "agrupats" tots junts. La ''unió'' de ''A'' i ''B'', es denota per ''A''&nbsp;U&nbsp;''B'', i és el conjunt de tots els elements que són membres ja sigui de ''A'' o de ''B''.

Dos conjunts també es poden "restar". El ''complementari relatiu'' de ''A'' en ''B'' (també dit el ''conjunt diferència'' ''B'' menys ''A''), s'escriu ''B''&nbsp;\&nbsp;''A'', (o ''B''&nbsp;−&nbsp;''A'') és el conjunt de tots els elements que són membres de ''B'', però que no ho són de ''A''. FixeuÉs bo fixar-vosse en quequè és vàlid de "restar" d'un conjunt membres que no té, així traient ''verd'' de {1,2,3}; no té cap efecte.

Una de les aplicacions principals de la teoria intuïtiva de conjunts és la de construir [[relació (matemàtiques)|relacions]]. Una relació d'un [[Domini (matemàtiques)|domini]] ''A'' en un [[codomini]] ''B'' no és res més que un subconjunt de ''A'' × ''B''. A partir d'aquest concepte es veu ràpidament que el conjunt ''F'' de tots els parells ordenats (''x'', ''x''²), on x és un nombre real, resulta força familiar. El seu domini és el conjunt <math>\mathbb{R}</math> i el seu codomini és també el conjunt <math>\mathbb{R}</math>, perquè el conjunt dels quadrats és un subconjunt del conjunt dels reals. Si s'escriu en notació funcional, aquesta relació esdevé f(''x'') = ''x''². El motiu perquè els dos siguin equivalents és, que per a cada valor donat ''y'' per al qual la funció estigiestigui definida, la corresponent parella ordenada, (''y'', ''y''²) és un membre del conjunt ''F''.

Tot i que inicialment la teoria intuïtiva de conjunts, que defineix conjunt, merament com una ''qualsevol'' col·lecció ''ben definida'', va ser ben acceptada, aviat va trobar diversos obstacles. Va resultar que aquesta definició produïa diverses [[paradoxa|paradoxes]], les més notables són:

* [[Paradoxa de Russell]] – Mostra que "el conjunt de tots els conjunts que no es contenen a si mateixos'',", és a dir el "conjunt" <math>\left \{ x: x\mbox{ es un conjunt i }x\notin x \right \}</math> no existeix.