Diferència entre revisions de la pàgina «Funció bijectiva»

cap resum d'edició
En [[matemàtiques]], una '''bijecció''', o una '''funció bijectiva''' és una [[funció (matemàtiques)|funció]] ''f'' de un [[conjunt]] ''X'' a un conjunt ''Y'' amb la propietat de que, per a cada ''y'' de ''Y'', hi ha exactament un ''x'' de ''X'' tal que <br> ''f''(''x'') = ''y''.
 
O bé, ''f'' esés bijectiva si és una [[correspondència]] tal que totestots lesels imatgeselements del [[domini (matemàtiques)|domini]] tenen [[imatge (matemàtiques)|imatge]] (és a dir, és una antiimatge[[funció diferent(matemàtiques)|funció]]), tots els elements del [[recorregut]] tenen una única [[antiimatge]], (és a dir, és una ''' ([[funció injectiva]]) i al mateix temps tots els elements del conjunt[[codomini]] imatgesón al [[recorregut]] perquè són imatge d'algun element del conjunt origen,domini (és a dir, és una ([[funció suprajectiva]]). En definitiva, una '''funció injectiva i exhaustiva'''.
 
Per exemple, consideris la funció successor, definida a partir del conjunt dels [[Nombre enter|Enters]] de <math>\Z</math> en <math>\Z</math>, de forma que a cada enter ''x'' li fa correspondre l'enter successor(''x'') = x + 1. Un altre exemple pot ser la funció sumdif que a cada parella (''x'',''y'') de nombres reals els associa a la parella sumdif(''x'',''y'') = (''x''&nbsp;+&nbsp;''y'', ''x''&nbsp;&minus;&nbsp;''y'').
 
De D'una funció bijectivabijecció també se'n diu una '''[[permutació]]'''. Tot i que això es fa servir més habitualment quantquan ''X'' = ''Y''. El conjunt de totes les bijeccions de ''X'' en ''Y'' es denota com a ''X''<math>{}\leftrightarrow{}</math>''Y''. De fet, quan existeix alguna bijecció entre dos conjunts ''X'' i ''Y'' es diu que aquests són '''equipotents''' i es nota ''X''≈''Y''. La [[relació]] d''''[[equipotència]]''' és d'[[relació d'equivalència|equivalència]] i conserva moltes propietats.
 
Les funcions bijectives juguen un paper fonamental en moltes àrees de les matemàtiques, per exemple en la definició de [[isomorfisme]]s (i conceptes relacionats com els [[homeomorfisme]]s i els [[difeomorfisme]]s), [[grup de permutacions]], [[aplicació projectivaprojectivitat]]s, i molts altres.
 
==Exemples i contraexemples==
* Per a qualsevol conjunt ''X'', la [[funció identitat]] id<sub>''X''</sub> de ''X''en ''X'', definida per id<sub>''X''</sub>(''x'') = ''x'', és bijectiva.
*La funció ''f'' de la [[línia real]] '''R''' en '''R''' definida per ''f''(''x'') = 2''x'' + 1 és bijectiva, donat que per a cada ''y'' hi ha un únic ''x'' = (''y''&nbsp;&minus;&nbsp;1)/2 tal que ''f''(''x'') = ''y''.
* La [[funció exponencial]] ''g''&nbsp;:&nbsp;'''R''' <math>\rightarrow</math> '''R''',amb ''g(x)'' = e<sup>''x''</sup>, no és bijectiva: per exemple, no hi ha cap ''x'' de '''R''' tal que ''g''(''x'') = &minus;1, provant que ''g'' no és suprajectiva. En canvi si es canvia el [[codomini]] per que sigui el conjunt dels nombres reals positius '''R'''<sup>+</sup> = (0,+∞), llavors ''g'' esdevé bijectiva; la seva inversa és la funció [[logaritme natural]] ln.
* La funció ''h''&nbsp;:&nbsp;'''R''' <math>\rightarrow</math> [0,+∞) amb ''h(x)'' = ''x''² no és bijectiva: per exemple, ''h''(&minus;1) = ''h''(+1) = 1, per tant ''h'' no és injectiva. Ara bé, si el [[domini (matemàtiques)|domini]] també es canvia per <nowiki>[0,+∞)</nowiki>, llavors ''h'' esdevé bijectiva; la seva inversa és la funció arrel quadrada positiva.
* <math>\mathbb{R} \to \mathbb{R} : x \mapsto (x-1)x(x+1) = x^3 - x </math> no és una bijecció perquè &minus;1, 0, i +1 són dins del domini i a tots dos els correspon el 0.
* <math>\mathbb{R} \to [-1,1] : x \mapsto \sin(x)</math> no és una bijecció perquè π/3 i 2π/3 són dins els domini i a tots dos els correspon (√3)/2.
 
==Composició i inverses==
Una funció ''f'' es bijectiva [[si i només si]] la seva [[relaciófunció inversa]] ''f''<sup> &minus;1</sup> és una funció. En aquest cas, ''f''<sup> &minus;1</sup> també és bijectiva.
 
La [[composició (matemàtiques)|composició]] ''g''&nbsp;<small>o</small>&nbsp;''f'' de dues funcions bijectives ''f''<math>\;:\;</math> ''X''<math>{}\leftrightarrow{}</math>''Y''i ''g''<math>\;:\;</math> ''Y''<math>{}\leftrightarrow{}</math>''Z'' és una funció bijectiva. La inversa de ''g''&nbsp;<small>o</small>&nbsp;''f'' és (''g''&nbsp;<small>o</small>&nbsp;''f'')<sup>&minus;1</sup> = (''f''<sup> &minus;1</sup>)&nbsp;<small>o</small>&nbsp;(''g''<sup>&minus;1</sup>).
 
==Bijeccions i cardinalitat==
Si ''X'' i ''Y'' són conjunts [[conjunt finit|finits]], llavors hi ha una bijecció entre els dos conjunts ''X'' i ''Y'' (és a dir, són [[equipotent]]s) [[si i només si]] ''X'' i ''Y'' tenen el mateix nombre d'elements. De fet, en la [[teoria de conjunts|teoria axiomàtica de conjunts]], això es pren com a la autèntica ''definició'' de "mateix nombre d'elements", i generalitzant aquesta definició al cas de conjunts [[Nombre infinit|infinit]]s porta al concepte de [[nombre cardinal]], una forma de distingir les diferents grandàries dels [[Nombre infinit|conjunts infinits]].
 
==Exemples i contraexemples==
* Per a qualsevol conjunt ''X'', la [[funció identitat]] id<sub>''X''</sub> de ''X''en ''X'', definida per id<sub>''X''</sub>(''x'') = ''x'', és bijectiva.
*La funció ''f'' de la [[línia real]] '''R''' en '''R''' definida per ''f''(''x'') = 2''x'' + 1 és bijectiva, donat que per a cada ''y'' hi ha un únic ''x'' = (''y''&nbsp;&minus;&nbsp;1)/2 tal que ''f''(''x'') = ''y''.
* La [[funció exponencial]] ''g''&nbsp;:&nbsp;'''R''' <math>\rightarrow</math> '''R''',amb ''g(x)'' = e<sup>''x''</sup>, no és bijectiva: per exemple, no hi ha cap ''x'' de '''R''' tal que ''g''(''x'') = &minus;1, provant que ''g'' no és suprajectiva. En canvi si es canvia el [[codomini]] per que sigui el conjunt dels nombres reals positius '''R'''<sup>+</sup> = (0,+∞), llavors ''g'' esdevé bijectiva; la seva inversa és la funció [[logaritme natural]] ln.
* La funció ''h''&nbsp;:&nbsp;'''R''' <math>\rightarrow</math> [0,+∞) amb ''h(x)'' = ''x''² no és bijectiva: per exemple, ''h''(&minus;1) = ''h''(+1) = 1, per tant ''h'' no és injectiva. Ara bé, si el [[domini (matemàtiques)|domini]] també es canvia per <nowiki>[0,+∞)</nowiki>, llavors ''h'' esdevé bijectiva; la seva inversa és la funció arrel quadrada positiva.
* <math>\mathbb{R} \to \mathbb{R} : x \mapsto (x-1)x(x+1) = x^3 - x </math> no és una bijecció perquè &minus;1, 0, i +1 són dins del domini i a tots dos els correspon el 0.
* <math>\mathbb{R} \to [-1,1] : x \mapsto \sin(x)</math> no és una bijecció perquè π/3 i 2π/3 són dins els domini i a tots dos els correspon (√3)/2.
 
== Propietats ==
* Una funció ''f'' de la [[línia real]] '''R''' en '''R''' és bijectiva si i només si la seva [[gràfica d'una funció|gràfica]] és intersecada per qualsevol línia horitzontal exactament en un únic punt.
* Si ''X'' és un conjunt, llavors les funcions bijectives de ''X'' en si mateix, juntament amb l'operació de composició de funcions (<sup><small>o</small></sup>), formen un [[grup (matemàtiques)|grup]], el [[grup simètric]] de ''X'', el qual es denota com a S(''X''), ''S''<sub>''X''</sub>, o ''X''! (la última notació es llegeix "''X'' [[factorial]]").
* Per a un subconjunt ''A'' of del domini i un subconjunt ''B'' del codomini es té:
:|''f''(''A'')| = |''A''| i |''f''<sup>&minus;1</sup>(''B'')| = |''B''|.
*Si ''X'' i ''Y'' són [[conjunts finits]] ambde la mateixa [[cardinalitat]], i ''f'':&nbsp;''X''&nbsp;→&nbsp;''Y'', llavors les següents afirmacions són equivalents:
:*# ''f'' és una bijecció.
:*# ''f'' isés suprajectiva.
:*# ''f'' isés injectiva.
*Com a mínim per a qualsevol conjunt finit ''S'', hi ha una bijecció entre el conjunt de totes les possibles [[ordenacions totals]] dels seus elements i el conjunt de totes les bijeccions de ''S'' en ''S''. Això és el mateix que dir que el nombre de [[permutacions]] (un altre nom per a referir-se a les bijeccions) dels elements de ''S'' és el mateix que el nombre de ordenacions totals d'aquest conjunt --anomenat, ''n!''.
 
==Vegeu també ==
*[[Equipotència]]
*[[Funció injectiva]]
*[[Grup simètric]]
*[[Funció suprajectiva]]
*[[Numeració bijectiva]]
*[[Demostració bijectiva]]
 
[[Categoria:MatemàtiquesTeoria de conjunts]]
 
[[ar:تقابل]]