Funció bijectiva: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Cap resum de modificació |
|||
Línia 2:
En [[matemàtiques]], una '''bijecció''', o una '''funció bijectiva''' és una [[funció (matemàtiques)|funció]] ''f'' de un [[conjunt]] ''X'' a un conjunt ''Y'' amb la propietat de que, per a cada ''y'' de ''Y'', hi ha exactament un ''x'' de ''X'' tal que <br> ''f''(''x'') = ''y''.
O bé, ''f''
Les funcions bijectives juguen un paper fonamental en moltes àrees de les matemàtiques, per exemple en la definició de [[isomorfisme]]s (i conceptes relacionats com els [[homeomorfisme]]s i els [[difeomorfisme]]s), [[grup de permutacions]], [[
==Exemples i contraexemples==▼
* Per a qualsevol conjunt ''X'', la [[funció identitat]] id<sub>''X''</sub> de ''X''en ''X'', definida per id<sub>''X''</sub>(''x'') = ''x'', és bijectiva.▼
*La funció ''f'' de la [[línia real]] '''R''' en '''R''' definida per ''f''(''x'') = 2''x'' + 1 és bijectiva, donat que per a cada ''y'' hi ha un únic ''x'' = (''y'' − 1)/2 tal que ''f''(''x'') = ''y''.▼
* La [[funció exponencial]] ''g'' : '''R''' <math>\rightarrow</math> '''R''',amb ''g(x)'' = e<sup>''x''</sup>, no és bijectiva: per exemple, no hi ha cap ''x'' de '''R''' tal que ''g''(''x'') = −1, provant que ''g'' no és suprajectiva. En canvi si es canvia el [[codomini]] per que sigui el conjunt dels nombres reals positius '''R'''<sup>+</sup> = (0,+∞), llavors ''g'' esdevé bijectiva; la seva inversa és la funció [[logaritme natural]] ln.▼
* La funció ''h'' : '''R''' <math>\rightarrow</math> [0,+∞) amb ''h(x)'' = ''x''² no és bijectiva: per exemple, ''h''(−1) = ''h''(+1) = 1, per tant ''h'' no és injectiva. Ara bé, si el [[domini (matemàtiques)|domini]] també es canvia per <nowiki>[0,+∞)</nowiki>, llavors ''h'' esdevé bijectiva; la seva inversa és la funció arrel quadrada positiva.▼
* <math>\mathbb{R} \to \mathbb{R} : x \mapsto (x-1)x(x+1) = x^3 - x </math> no és una bijecció perquè −1, 0, i +1 són dins del domini i a tots dos els correspon el 0.▼
* <math>\mathbb{R} \to [-1,1] : x \mapsto \sin(x)</math> no és una bijecció perquè π/3 i 2π/3 són dins els domini i a tots dos els correspon (√3)/2.▼
==Composició i inverses==
Una funció ''f'' es bijectiva [[si i només si]] la seva [[
La [[composició (matemàtiques)|composició]] ''g'' <small>o</small> ''f'' de dues funcions bijectives ''f''<math>\;:\;</math> ''X''<math>{}\leftrightarrow{}</math>''Y''i ''g''<math>\;:\;</math> ''Y''<math>{}\leftrightarrow{}</math>''Z'' és una funció bijectiva. La inversa de ''g'' <small>o</small> ''f'' és (''g'' <small>o</small> ''f'')<sup>−1</sup> = (''f''<sup> −1</sup>) <small>o</small> (''g''<sup>−1</sup>).
Linha 21 ⟶ 28:
==Bijeccions i cardinalitat==
Si ''X'' i ''Y'' són conjunts [[conjunt finit|finits]], llavors hi ha una bijecció entre els dos conjunts ''X'' i ''Y'' (és a dir, són [[equipotent]]s) [[si i només si]] ''X'' i ''Y'' tenen el mateix nombre d'elements. De fet, en la [[teoria de conjunts|teoria axiomàtica de conjunts]], això es pren com a la autèntica ''definició'' de "mateix nombre d'elements", i generalitzant aquesta definició al cas de conjunts [[Nombre infinit|infinit]]s porta al concepte de [[nombre cardinal]], una forma de distingir les diferents grandàries dels [[Nombre infinit|conjunts infinits]].
▲==Exemples i contraexemples==
▲* Per a qualsevol conjunt ''X'', la [[funció identitat]] id<sub>''X''</sub> de ''X''en ''X'', definida per id<sub>''X''</sub>(''x'') = ''x'', és bijectiva.
▲*La funció ''f'' de la [[línia real]] '''R''' en '''R''' definida per ''f''(''x'') = 2''x'' + 1 és bijectiva, donat que per a cada ''y'' hi ha un únic ''x'' = (''y'' − 1)/2 tal que ''f''(''x'') = ''y''.
▲* La [[funció exponencial]] ''g'' : '''R''' <math>\rightarrow</math> '''R''',amb ''g(x)'' = e<sup>''x''</sup>, no és bijectiva: per exemple, no hi ha cap ''x'' de '''R''' tal que ''g''(''x'') = −1, provant que ''g'' no és suprajectiva. En canvi si es canvia el [[codomini]] per que sigui el conjunt dels nombres reals positius '''R'''<sup>+</sup> = (0,+∞), llavors ''g'' esdevé bijectiva; la seva inversa és la funció [[logaritme natural]] ln.
▲* La funció ''h'' : '''R''' <math>\rightarrow</math> [0,+∞) amb ''h(x)'' = ''x''² no és bijectiva: per exemple, ''h''(−1) = ''h''(+1) = 1, per tant ''h'' no és injectiva. Ara bé, si el [[domini (matemàtiques)|domini]] també es canvia per <nowiki>[0,+∞)</nowiki>, llavors ''h'' esdevé bijectiva; la seva inversa és la funció arrel quadrada positiva.
▲* <math>\mathbb{R} \to \mathbb{R} : x \mapsto (x-1)x(x+1) = x^3 - x </math> no és una bijecció perquè −1, 0, i +1 són dins del domini i a tots dos els correspon el 0.
▲* <math>\mathbb{R} \to [-1,1] : x \mapsto \sin(x)</math> no és una bijecció perquè π/3 i 2π/3 són dins els domini i a tots dos els correspon (√3)/2.
== Propietats ==
* Una funció ''f'' de la [[línia real]] '''R''' en '''R''' és bijectiva si i només si la seva [[gràfica d'una funció|gràfica]] és intersecada per qualsevol línia horitzontal exactament en un únic punt.
* Si ''X'' és un conjunt, llavors les funcions bijectives de ''X'' en si mateix, juntament amb l'operació de composició de funcions (
* Per a un subconjunt ''A''
:|''f''(''A'')| = |''A''| i |''f''<sup>−1</sup>(''B'')| = |''B''|.
*Si ''X'' i ''Y'' són [[conjunts finits]]
*Com a mínim per a qualsevol conjunt finit ''S'', hi ha una bijecció entre el conjunt de totes les possibles [[ordenacions totals]] dels seus elements i el conjunt de totes les bijeccions de ''S'' en ''S''. Això és el mateix que dir que el nombre de [[permutacions]] (un altre nom per a referir-se a les bijeccions) dels elements de ''S'' és el mateix que el nombre de ordenacions totals d'aquest conjunt --anomenat, ''n!''.
==Vegeu també ==
*[[Equipotència]]
*[[Funció injectiva]]
*[[Funció suprajectiva]]
[[Categoria:
[[ar:تقابل]]
| |||