Corba de Peano: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Robot treu tags que no fan res |
m faltes |
||
Línia 3:
== Història ==
En un article de 1890 [[Giuseppe Peano]] descriu una corba auto-intersectant que passa per tots els punts de la superfície del quadrat unitat.<ref name="GP">{{Ref-publicació|nom = G. Peano|titre = Sur une courbe, qui remplit une aire plane|
La clau passa per l'elaboració d'una corba que no és [[Funció derivable|derivable]] enlloc. Totes les corbes trobades fins llavors eren [[Diferencial d'una funció|derivables]] per intervals (tenien una derivada contínua sobre cada interval). El 1872, [[Karl Weierstrass]] havia descrit [[Funció de Weierstrass|una funció]] que era contínua en tots els punts però no era derivable en cap punt. Però cap d'aquestes corbes no podia omplir el quadrat unitat. La corba de Peano, és
Peano utilitza l'existència d'una notació en base tres per a tot nombre real. En el conjunt de les successions de valors de {0,1,2}, construeix una correspondència entre la successió: <math>T =(a_n)_{n\in\N^*}</math> i la parella de successions <math>(X, Y)=((b_n)_{n\in\N^*}, (c_n)_{n\in\N^*})</math> de la següent manera:
Linha 16 ⟶ 15:
L'article de Peano no contenia pas cap il·lustració. Una observació de les successions T, nul·les a partir del rang 3, conduiria a la construcció successiva dels punts de coordenades (0,0), (0,1/3), (0,2/3), (1/3,2/3), (1/3,1/3), (1/3,0), (2/3,0), (2/3,1/3), (2/3,2/3) que, units per segments rectes donen una corba analoga a l'etapa 1 de la il·lustració de dalt. Per les successions nul·les a partir del rang cinc, es traça una corba analoga a la iteració 2 de dalt, començant al punt de coordenades (0,0) i acabant al punt de coordenades (8/9,8/9).
Un any més tard, [[David Hilbert]] publica una construcció nova i més simple, coneguda avui amb el nom de [[:fr:Courbe_de_Hilbert|corba de Hilbert.]] El seu article de 1891 és el primer a proposar una
La majoria de les corbes de Peano es construeixen seguint un procediment iteratiu i són el límit d'una successió de [[Corba poligonal|corbes poligonals]].
Linha 23 ⟶ 22:
* el 1900, el matemàtic [[Eliakim Hastings Moore]] proposa, quatre corbes de Hilbert, una variant tancada s'anomena avui [[:fr:Courbe_de_Moore|corba de Moore]];
* el 1905, [[Henri Léon Lebesgue|Henri Lebesgue]] proposa [[Corba de Lebesgue|una nova corba]] que és derivable [[Quasi pertot|gairebé a tots els punts]];
* en 1912, el matemàtic
Més tard [[Walter Wunderlich]] desenvolupa, una família sencera de variantes de la corba original de Peano.<gallery>
File:Hilbert_curve.png|Corba de Hilbert
Linha 32 ⟶ 31:
== Propietats ==
* Contràriament les aproximacions successives que tendeixen a elles, les quals en general són corbes que no se solapen pas, una corba de Peano és auto-intersectant i correspon a una funció no [[Funció injectiva|injectiva]].<ref name="GP"
* La corba de Peano és 1/2-hölderiana. Tanmateix, és impossible d'obtenir una aplicació a-hölderiana exhaustiva de [0,1] a [0,1]2 per a>1/2
| |||