Viquipèdia

Problema dels dos cossos: diferència entre les revisions

Exploració interactiva de l'historial
← Edició anteriorEdició següent →
Contingut suprimit Contingut afegit
VisualWikitext
Format de referència
Cap resum de modificació
Línia 2:
[[Fitxer: orbit5.gif|thumb|400px|Dos cossos orbitant al voltant del seu [[centre de masses]] en òrbites el·líptiques.]]
[[Fitxer: orbit2.gif|thumb|200px|Dos cossos amb una petita diferència de massa orbitant al voltant del seu centre de massa, les mides dibuixats són similars als del sistema [[(134340) Plutó|Plutó]]-[[Caront (satèl·lit)|Caront]].]]
En [[mecànica clàssica]], el '''problema dels dos cossos''' consisteixté aper objectiu determinar el moviment de dues [[partícula puntual|partícules puntuals]] que només interactuen entre si. <!--Els exemples comuns inclouen{{CC|data=pàgina d'usuari}} la [[Lluna]] orbitant al voltant de la [[Terra]] i en absència del Sol, és a dir aïllats, un [[planeta]] orbitant al voltant d'una [[estrella]], dues [[estrella|estrelles]] que giren al voltant del [[centre de masses]] ([[estel binari]]), i un [[electró]] orbitant al voltant d'un [[nucli atòmic]].-->
Com s'explica més endavant, les [[Lleislleis de Newton]] ens permetpermeten reduir el '''problema dedels dos cossos''' a un '''problema d'un cos''' equivalent, és a dir, a resoldre el moviment d'una partícula sotmesa a un [[camp gravitatori]] [[Camp conservatiu|conservatiu]] i que per tant deriva d'un [[potencial gravitatori|potencial]] extern. Atès que el problema es pot resoldre exactamentde forma exacta, el problema dels dos cossos corresponent també es pot resoldre amb exactitud. Per contra, el [[problema dels tres cossos]] (i, més generalment, el [[problema dedels <math>n </math> cossos]] amb <math>n \geq 3</math>) no pot es pot resoldre's analíticament de forma exacta, excepte en casos especials.
 
== Descripció del problema {{CC|data=pàgina d'usuari}}==
Siguin <math>\mathbf{x}_{1}</math> i <math>\mathbf{x}_{2}</math> les posicions de dos cossos, i <math>m_{1}</math> i <math>m_{2}</math> les seves masses.
 
La [[Lleis de Newton|segona llei de Newton]] determina que
{{equació|
:<math>\mathbf{F}_{1,2}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = m_{1} \ddot\mathbf{x}_{1}</math> (equació 1)
:<math>\mathbf{F}_{2,1}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = m_{2} \ddot\mathbf{x}_{2}</math> (equació 2)
||left}}
on <math>\mathbf{F}_{12}</math> és la força enque experimenta la massa 1 a causa de la seva interacció amb la massa 2, i <math>\mathbf{F}_{21}</math> és la força enque experimenta la massa 2 respecte a causa de la seva interacció amb la massa 1.
 
La suma de les dues equacions produeix una equació que descriu el moviment del [[centre de masses]] ([[baricentre]]) del sistema. En canvi, la resta de la segona equació en la primera equació produeix una equació que descriu la variació amb el temps del vector '''r'''&nbsp;=&nbsp;'''x'''<sub>1</sub>&nbsp;&minus;&nbsp;'''x'''<sub>2</sub> entre les dues masses. Les solucions d'aquestes dues equacions independents de problemes d'un cos poden combinar-se per a obtenir les trajectòries '''x'''<sub>1</sub>''(t)'' i '''x'''<sub>2</sub>''(t)''.
<!-- La nostra missió{{CC|data=pàgina d'usuari}} és determinar les trajectòries <math>\mathbf{x}_{1}(t)</math> i <math>\mathbf{x}_{2}(t)</math> en tot moment <math>t</math>, donades les posicions inicials <math>\mathbf{x}_{1}(t = 0)</math> i <math>\mathbf{x}_{2}(t = 0)</math> i les velocitats inicials <math>\mathbf{v}_{1}(t = 0)</math> i <math>\mathbf{v}_{2}(t = 0)</math> (12 constants en total).
Un truc important per resoldre el problema de dos cossos és sumar i restar aquestes dues equacions que descompon el problema en dos problemes. La suma produeix una equació que descriu el moviment del centre de masses, i la resta dóna una equació que descriu com varia amb el temps el vector de posició entre les dues masses. La combinació de les solucions a aquests dos problemes d'un cos s'obtenen les solucions de les trajectòries <math>\mathbf{x}_{1}(t)</math> i <math>\mathbf{x}_{2}(t)</math>. -->
 
== Moviment del centre de masses (Primerprimer problema d'un cos) {{CC|data=pàgina d'usuari}}==
La suma de les dues equacions (1) i (2) produeix:
:<math>▼
{{equació| ▼
m_{1}\ddot{\mathbf{x}_{1}_1 + m_{2}m_2 \ddot{\mathbf{x}_{2}_2 = (m_{1}m_1 + m_{2}m_2)\ddot{\mathbf{xR}_{cm} = \mathbf{F}_{12} + \mathbf{F}_{21} = 0▼
▲<math>
▲m_{1}\ddot\mathbf{x}_{1} + m_{2}\ddot\mathbf{x}_{2} = (m_{1} + m_{2})\ddot\mathbf{x}_{cm} = \mathbf{F}_{12} + \mathbf{F}_{21} = 0
</math>
||left}}
on hem emprat la [[Lleis de Newton|Tercera Llei de Newton]] <math>\mathbf{F}_{12} = -\mathbf{F}_{21}</math> i on
{{equació|
<math>\mathbf{x}_{cm} \equiv \frac{m_{1}\mathbf{x}_{1} + m_{2}\mathbf{x}_{2}}{m_{1} + m_{2}}</math>▼
||left}}
és la posició del [[centre de masses]] ([[baricentre]]) del sistema. L'equació resultant▼
{{equació|<math>
\ddot\mathbf{x}_{cm} = 0</math>▼
||left}}
mostra que la velocitat <math> \dot \mathbf{x}_{cm}</math> del centre de massa és constant, del que es dedueix que la [[quantitat de moviment]] total <math> m_{1}\dot \mathbf{x}_{1}+m_{2}\dot \mathbf{x}_{2}</math> també és constant ([[quantitat de moviment # Conservació|conservació de la quantitat de moviment]] ). De manera que, poden determinar la posició i velocitat del centre de massa en qualsevol instant donades les posicions i velocitats inicials.▼
 
on s'ha emprat la [[tercera llei de Newton]], '''F'''<sub>12</sub>&nbsp;=&nbsp;&minus;'''F'''<sub>21</sub>, i on
== Moviment del vector de desplaçament (Segon problema d'un cos) {{CC|data=pàgina d'usuari}}==▼
 
:<math>
▲<math>\ddot{\mathbf{xR}_{cm} \equiv \frac{m_{1}\ddot{\mathbf{x}}_{1} + m_{2}\ddot{\mathbf{x}}_{2}}{m_{1} + m_{2}}</math>
</math>
 
▲<math>\mathbf{R}</math> és la posició del [[centre de masses]] ([[baricentre]]) del sistema. L'equació resultant
 
▲{{L'equació| resultant
:<math>
▲\ddot{\mathbf{xR}_{cm} = 0</math>
</math>
 
▲mostra quecom la velocitat <math> \dot \mathbf{x}_{cm}<'''V'''&nbsp;=&nbsp;''d'''''R'''/math>''dt'' del centre de massamasses és constant, del que esd'on dedueixs'extreu que la [[quantitat de moviment]] total ''m''<mathsub> m_{1}\dot</sub> \mathbf{x}_{'''v'''<sub>1}</sub>&nbsp;+m_{&nbsp;''m''<sub>2}\dot</sub> \mathbf{x}_{'''v'''<sub>2}</mathsub> també és constant ([[quantitat de moviment # Conservació|conservació de la quantitat de moviment]] ). DePer manera quetant, poden determinar la posició i velocitat'''R'''(''t'') del centre de massamasses pot ser determinada en qualsevol instant donadesde temps a partir de les posicions i velocitats inicials.
 
 
▲== Moviment del vector de desplaçament (Segonsegon problema d'un cos) {{CC|data=pàgina d'usuari}}==
{{Plantilla:Inacabat|Houjou}}
Restant les dues equacions de força i reestructurant l'equació
{{equació|<math>
Obtingut de «https://ca.wikipedia.org/wiki/Problema_dels_dos_cossos»