Funció el·líptica: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Línia 72:
Les funcions el·líptiques en forma de Weierstrass <math>\wp</math> són el prototip de funció el·líptica, i de fet, el cos de funcions el·líptiques per a un reticle donat es genera a partir d'<math>\wp</math> i la seva derivada <math>\wp'</math>.
== Funcions el·líptiques de Jacobi ==
[[Fitxer:JacobiFunctionAbstract.png|width322px|thumb|<center>Contrucció del rectangle auxiliar en els eixos imaginaris</center>]]
Hi ha dotze funcions el·líptiques de Jacobi. Cadascuna d'elles correspon a una fletxa dibuixada d'un costat del rectangle a un altre. Els vèrtexs del rectangle s'etiqueten, per conveni, com ''s'', ''c'', ''d'' i ''n''. El rectangle es troba en el [[pla complex]], talment que ''s'' es troba a l'origen, ''c'' és el punt <math>K</math> de l'eix real, ''d'' és al punt <math>K + i K'</math> i ''n'' es troba a <math>i K'</math> (eix imaginari). Els nombres <math>K </math> i <math>K'</math> s'anomenen quarts de període. Les dotxe funcions el·líptiques de Jacobi són, doncs, ''pq'' en que ''p'' i ''q'' són alguna de les lletres ''s'', ''c'', ''d'' o ''n''.
Les funcions el·líptiques de Jacobi són llavors les funcions [[Funció meromorfa|meromorfes]] doblement periòdiques que satisfan les següents tres condicions.
* Hi ha un únic zero en el vèrtex ''p'' i un únic pol al vèrtex ''q''.
* El pas de ''p'' a ''q'' és igual a la meitat del període de la funció pq''u''; és a dir, la funció ''u'' és periòdica en la direcció ''pq'', amb període el doble de la distància entre ''p'' i ''q''. La funció pq''u'' és també periòdica en les altres dues direccions, amb un període tal que la distància de ''p'' a ''q'' a un dels altres vèrtexs és un quart del període.
* Si la funció pq''u'' s'expandeix en termes d'''u'' cap a un dels vèrtexs, el terme que s'obté en l'expansió té un coeficient d'1. En altres paraules, el terme que s'obté en l'expansió de pq''u'' al vèrtex ''p'' és ''u''; el terme que s'obté en l'expansió al vèrtex ''q'' és 1/u, i el terme que s'obté en l'expansió als altres dos vèrtexs és 1.
De manera més general, no hi ha cap necessitat d'imposar un rectangle; un paral·lelogram també serveix. Tanmateix, si <math>K</math> i <math>i K'</math> es mantenenen en l'eix real i l'imaginari respectivament, llavors les funcions el·líptiques de Jacobi pq''u'' seran funcions reals sempre i quan ''u'' sigui real.
== Enllaços externs ==
| |||