Delta de Dirac: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Millora |
|||
Línia 1:
[[Fitxer:Dirac_distribution_PDF.png|thumb|300px|Representació de la distribució δ(''x'') de Dirac.]]
La '''delta de Dirac''' o '''funció d'impuls''', introduïda per primera vegada pel [[física|físic]] [[Anglaterra|anglès]] [[Paul Dirac]],<ref name="gec">{{GEC|0022570|Delta de Dirac}}</ref> es pot considerar una [[Distribució (matemàtiques)|funció generalitzada]] δ(''x'') que té un valor [[infinit]] per a ''x'' = 0 i un valor [[zero]] a qualsevol altra ''x''. És habitual representar-la de manera integral, ja que la seva integral des de menys infinit fins a més infinit és igual a 1.<ref>{{Ref-web|url=http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/DiracDeltaFunction.aspx|títol=Differential Equations - Dirac Delta Function|consulta=2017-03-02|llengua=Anglès|editor=tutorial.math.lamar.edu|data=}}</ref>
Estrictament no es pot considerar una funció matemàtica, sinó que és una [[distribució (matemàtiques)|distribució]], ja que no compleix algunes de les característiques definitòries de funció. Físicament pot representar una distribució de densitat d'una massa unitat concentrada en un punt ''a''. Aquesta funció constitueix una aproximació molt útil per a funcions picudes i constitueix el mateix tipus d'abstracció matemàtica que una [[càrrega puntual|càrrega]] o massa puntual.
Línia 6:
Per exemple, alguns sistemes mecànics estan sotmesos a una força externa (o un voltatge elèctric en el cas dels sistemes elèctrics) que actuen durant un període molt curt i d'una manera constant. Per exemple, el rellotge d'un computador segueix una funció impuls que es va repetint de manera periòdica.
== Definició formal ==
==Referències==▼
Es defineix quan compleix les següents condicions :<ref>{{Ref-web|url=http://www.physicspages.com/2011/02/16/dirac-delta-function/|títol=Dirac delta function|consulta=2017-03-02|cognom=gwrowe|llengua=Anglès|editor=www.physicspages.com|data=2011-02-16}}</ref>
<math>\delta(x) = 0 </math> si <math>x \neq 0</math>
{{Distribucions de probabilitat}}▼
<math>\textstyle \int_{-\infty}^{\infty} \displaystyle \delta(x) = 1</math>
== Propietats ==
* <math>\delta(x)=\delta(-x)\,\!</math>
* <math>f(x)\delta'(x)=-f'(x)\delta(x)\,\!</math>
* <math>\delta'(x)=-\delta'(-x)\,\!</math>
* <math>x^n\delta(x)=0 \qquad \forall n>0, x\in\mathbb{R}\,\!</math>
* <math>(x-a)^n\delta(x-a)=0 \qquad \forall n>0\,\!</math>
* <math>\delta(ax-b)=|a|^{-1}\delta(x-(b/a)) \qquad \forall a>0\,\!</math>
* <math>h(x)\delta(x-a)=h(a)\delta(x-a)\,\!</math>
* <math>h(x)\delta'(x-a) = h(a)\delta'(x-a)-h'(a)\delta(x-a)\,</math>
* <math>\delta(f(x)) = \sum_n |f'(x_n)|^{-1}\delta(x-x_n), \quad \mbox{con}\ f(x_n)=0,\ f'(x_n)\ne 0</math>
* <math>\delta(\omega) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i\omega t}dt</math>
* <math>\delta(x)</math> es de [[:es:Función_continua#Clase_de_continuidad|clase]] <math>C^{-2}(\R)</math>
* La transformada de Fourier de <math> \delta(x)</math> és igual a 1, o sigui, l'espectre freqüencial d'una delta de dirac és unitari constant i infinit. Per tant : <math> \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)\ e^{- 2\pi i \xi x}\,dx = 1</math>
* Igualment la transformada inversa de 1 és la delta de dirac : <math>\int_{-\infty}^{\infty} 1\ e^{2 \pi i \xi x}\,d\xi = \delta(x)</math>
== Vegeu també ==
* [[Processament de senyals]]
▲==Referències==
▲<references />{{Distribucions de probabilitat}}
{{Autoritat}}
{{ORDENA:Delta De Dirac}} <!--ORDENA generat per bot-->
| |||