Mediatriu: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Revertides les edicions de 83.36.30.255. Si penseu que és un error, deixeu un missatge a la meva discussió. |
Separació de dues definicions equivalents de mediatriu i demostració de l'equivalència. Aclariment de la construcció i afegeixo figures noves Etiqueta: editor de codi 2017 |
||
Línia 1:
[[Fitxer:MediatriuSegment 250x502.png|vinheta|502x502px|'''Mediatriu''' del segment AB|200px]]
La mediatriu d'un [[segment]] (<math>\overline{AB}</math>) correspon al lloc geomètric dels punts que són equidistants als dos extrems A i B. Això és, la distància d'un punt de la mediatriu a A és igual a la distància d'aquest punt a B. ▼
La '''mediatriu''' d'un [[segment]] és la [[recta]] [[perpendicular]] que passa pel seu [[punt mitjà]]
=== Definició alternativa ===
▲La '''mediatriu''' d'un
L'equivalència entre les dues definicions es pot veure així: sigui el segment <math>AB</math> d'extrems els punts <math>A</math> i <math>B</math>.
* D'una banda, si la recta <math>m</math> n'és la mediatriu, <math>M</math> n'és el punt mitjà i <math>P</math> és un punt qualsevol de la mediatriu <math>m</math>, els [[triangles]] <math>\triangle PMA</math> i <math>\triangle PMB</math> són [[triangles rectangles]] amb l'[[angle recte]] a <math>M</math> amb un [[catet]] comú, <math>PM</math> i dos catets iguals, <math>\overline{AM} = \overline{MB}</math>. En conseqüència, els dos triangles <math>\triangle PMA</math> i <math>\triangle PMB</math> són iguals i, per tant, també ho són les respectives [[hipotenuses]] <math>\overline{AP} = \overline{PB}</math>, cosa que prova l'equidistància del punt <math>P</math> als dos extrems <math>A</math> i <math>B</math> del segment.
* Inversament, si <math>P</math> és un punt equidistant dels extrems <math>A</math> i <math>B</math> del segment <math>AB</math>, <math>\overline{AP} = \overline{PB}</math>, i <math>m</math> és la recta perpendicular a aquest segment que passa pel punt <math>P</math>, considerem el punt <math>M</math> d'intersecció del segment amb la recta <math>m</math>. Com abans, els triangles <math>\triangle PMA</math> i <math>\triangle PMB</math> són triangles rectangles amb l'angle recte a <math>M</math> amb un [[catet]] comú, <math>PM</math> i les respectives hipotenuses iguals, <math>\overline{AP} = \overline{PB}</math>. Els dos triangles,<math>\triangle PMA</math> i <math>\triangle PMB</math>, són, doncs, iguals i ho són també els altres dos respectius catets <math>\overline{AM} = \overline{MB}</math>. Per tant, <math>M</math> és el punt mitjà del segment <math>AB</math> i <math>m</math> és la recta perpendicular al segment que passa pel seu punt mitjà.
=== Construcció ===
[[Fitxer:MediatriuSegmentConstruccio 250x502.png|vinheta|Construcció de la mediatriu d'un segment|left|200px]]La mediatriu d'un segment es pot construir amb regle i compàs. Donat el segment <math>AB</math>, cadascuna de les dues interseccions de dues circumferències del mateix [[radi]] <math>r > \overline{AB}/2</math> amb centres a <math>A</math> i a <math>B</math>, són equidistants als extrems del segment i determinen una recta que és la mediatriu del segment.
<div style="clear: both;"></div>
== Mediatrius d'un triangle ==
Les '''mediatrius''' d'un [[triangle]] són les mediatrius de cadascun dels seus costats. Les tres mediatrius d'un triangle es tallen en un punt que s'anomena [[circumcentre]]. El circumcentre d'un triangle equidista dels tres [[vèrtexs]] i és el centre de la [[circumferència circumscrita]] al triangle.
== Vegeu també ==
*[[Circumcentre]]
*[[Bisectriu]]
*[[Punt mitjà]]
| |||