Binomi de Newton: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Correcció posició plantilla:autoritat |
m Ampliació de la introducció |
||
Línia 2:
{{MF|data=febrer de 2014}}
El '''[[Binomi]] de [[Isaac Newton|Newton]]''' o '''teorema del binomi''' és una fórmula que serveix per a calcular
</math>. És per tant una generalització de les fórmules elementals <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math> i <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math>. Aquestes dues formen part del que s'anomenen [[Identitat notable|Identitats notables]], i la primera d'elles admet una demostració gràfica elemental en termes d'àrees de quadrats i rectangles. El cas general, que és pròpiament el Binomi de Newton, utilitza nombres [[combinatòria|combinatoris]], i diu:
<math>{(a+b)}^{n}=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}a^{n-k}\,b^{k}</math>,
on el [[coeficient binomial]] <math> {n \choose k}</math> és el nombre combinatori definit així : <math> {n \choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}</math>, i es llegeix <math>n</math> ''sobre'' <math>k</math>.
Exemples:
Linha 13 ⟶ 14:
* per <math>n=3</math> : <math>(a+b)^3= {3 \choose 0}a^3 + {3 \choose 1}a^2 b + {3 \choose 2}a b^2 + {3 \choose 3} b^3 = a^3 + 3a^2 b + 3 a b^2 + b^3 </math>
Quan tenim <math>(a-b)^n</math>, n'hi ha prou amb escriure-ho com <math>(a+(-b))^n</math>, amb el que s'obté <math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>, <math>(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3</math> i, en general,
<math>{(a-b)}^{n}=\sum_{k=0}^{n} (-1)^k{n \choose k}a^{n-k}\,b^{k}</math>.
== Demostració ==
| |||