Binomi de Newton: diferència entre les revisions

El '''[[Binomi]] de [[Isaac Newton|Newton]]''' <ref>{{Ref-llibre|cognom=Rade, Lennart; Westergren, Bertil|nom=|títol=Mathematics Handbook for Science and Engineering|url=http://www.springer.com/gp/book/9783540211419|edició=|llengua=|data=|editorial=Springer|lloc=|pàgines=|isbn=ISBN 978-3-662-08549-3}}</ref><ref>{{Ref-llibre|cognom=Bronshtein, I.; Semendiaev, K.|nom=|títol=Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes|url=|edició=|llengua=Castellà|data=1977|editorial=MIR|lloc=Moscú|pàgines=|isbn=}}</ref> o '''teorema del binomi''' és una fórmula que serveix per a calcular la potència <math>n</math> d'un '''binomi''' <math>(a+b)

Tenint en compte que en l'expressió <math>ax=(xa+yb)^n</math> ''a'' es pot escriure com el producte de <math>n</math> binomis, <math>ax=s_1s_2 \cdots s_n</math>, on cada <math>s_i=xa+yb</math>. El desenvolupament de ''a''<math>x</math> és la suma de tots els productes formats agafant un terme – ja sigui ''x''<math>a</math> o ''y''<math>b</math> – de cada <math>s_i</math>. Per exemple, el terme <math>xa^n</math> en el desenvolupament de ''a''<math>x</math> s'obté seleccionant ''x''<math>a</math> en cada <math>s_i</math>.

El coeficient que multiplica cada terme del desenvolupament de ''a''<math>x</math> queda determinat per la quantitat de formes diferents que hi ha per triar termes <math>s_i</math> tals que el seu producte és de la mateixa forma que el terme (excloent el coeficient). En el cas de <math>t=xa^{n-1}yb</math>., ''<math>t''</math> es pot formar a ''a'' a base d'agafar ''y''<math>b</math> d'un dels <math>s_i</math> i ''x''<math>a</math> de tota la resta. Hi ha ''<math>n''</math> formes de seleccionar un <math>s_i</math> per obtenir la ''y''<math>b</math>; per tant ''<math>t''</math> s'obté de ''<math>n''</math> formes diferents en el desenvolupament de ''a''<math>x</math>, i per tant el seu coeficient és ''<math>n''</math>. En general, per <math>t=xa^{n-k}yb^k</math>, hi ha

Formes diferents de seleccionar els <math>s_i</math> per obtenir els ''y''<math>b</math>s (ja que ''<math>k''</math> ''y''<math>b</math>s se seleccionen a partir de ''<math>n''</math> <math>s_i</math>), i per tant aquest ha de ser el coeficient per ''<math>t''</math>.