Diferència entre revisions de la pàgina «Matriu invertible»

Ampliació i exemplificació
(Ampliació i exemplificació)
Donada una [[Matriu_%28matem%C3%A0tiques%29|matriu]] quadrada <math>A</math> ded'ordre dimensió<math>n</math>, <math>A\in M_{n\times n}(\mathbb{R})</math>, es diu que <math>A</math> és '''invertible''' ('''regular''' o no singular) si existeix una altra matriu <math>B\in M_{n\times n}(\mathbb{R})</math> tal que
 
<math>A B = B AI_n = I_nB A</math>,
 
on <math>I_n</math> és la matriu identitat de dimensiód'ordre <math>n</math>. La multiplicació emprada aquí és la multiplicació ordinària de matrius.
 
Per exemple, les matrius <math>A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> i <math>B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> són inverses l'una de l'altra atès que:
La matriu, si existeix, és única i s'anomena la matriu 'inversa' d'<math>A</math>, i es denota com
<math>A^{-1}</math>.
 
<math>AB=BA=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I_3</math>
 
La matriu inversa d'<math>A</math>, si existeix, es denota per <math>A^{-1}</math>.
 
==== Observacions ====
La construcció de la matriu <math>A^{-1}</math> que satisfà la igualtat donada més amunt s'anomena inversió de matrius.
 
29

modificacions